Zlomky patří mezi nejdůležitější věci, které se ve škole učí, protože je člověk (ikdyž někdy nevědomky) používá každý den. Určitě už jsi dělil pizzu na několik stejných dílu nebo řezal laťku na dvě stejné části. Je nutné, abys do této kapitoly investoval trochu více svého času, protože se se zlomky budeš setkávat hodně často.

Co je zlomek

Jak jsme se už dozvěděli v dřívějších kapitolách, zlomky byly zavedeny pro případy, kdy se nedalo počítat s celými čísly. Například, když sedlák chtěl prodat polovinu svého pole. Zlomek se dá chápat jako matematická operace dělení. V našem případě mám jedno pole a chci ho rozdělit na dvě části (1 : 2). My však provádíme trochu odlišný zápis – místo dělení používáme zlomkovou čáru a píšeme tedy \dfrac{1}{2}.

Čísla, která můžeme přeměnit na zlomky, nazýváme racionální čísla. Tato číslo značíme podle latinského slova quocient písmenem \mathbb{Q}. Tato čísla jsou definovaná jako poměr dvou celých čísel. Obecně můžeme tedy zlomky napsat jako \dfrac{a}{b}, \text{ kde } a,b \in \mathbb{Z}\text{ a } b \neq 0.

Čitatel a jmenovatel

Ve zlomcích se bude neustále setkávat s dvěma pojmy: jmenovatel a čitatel. Číslo které je nad zlomkovou čárou nazýváme čitatel. Pod zlomkovou čárou se nachází jmenovatel. To znamená, že ve zlomku \dfrac{3}{4} je číslo 3 čitatel a číslo 4 jmenovatel

Zlomky v kruhu

Vezmeme si příklad s naší pizzou. Pizza má tvar kruhu a každý si dokáže představit, jak to bude vypadat, když  tuto pizzu rodělíme na poloviny nebo na čtvrtiny. Proto se hodně často k zobrazování zlomku používá kruh. Kruh zobrazuje celek. Tento kruh můžeme rozdělit na stejné díly. Počet těchto dílu je jmenovatel. Vybereme jen některé z nich, počet těchto vybraných dílů bude náš čitatel.

Nakresleme si nyní jeden kruh, který si rozdělíme na dvě stejné části (jmenovatel = 2) a z těchto dvou částí vybereme jen jednu část, kterou na obrázku vybarvíme oranžově (čitatel = 1). Zlomek tedy zapíšeme \dfrac{1}{2}

Zlomek jedna polovina 1/2

Zatímco 2 ve jmenovateli představuje naše dva půlkruhy, jednička v čitateli nám říka, že jsme jeden z těch půlkruhů vybrali. Všimněme si, že stejného výsledku bychom se dopracovali, kdybychom kruh rozdělili na 4 stejné části a vybrali bychom z nich dvě. Takovýto kruh by vypadal následovně:

Zlomek dvě čtvrtiny 2/4

Když porovnáme oba dva obrázky, snadno uvidíme, že jsou oba dva obrázky identické a proto můžeme psát \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Někteří z vás už v této rovnosti vidí dvě základní operace se zlomky: rozšiřování a krácení.

Pravidla při počítání se zlomky: krácení a rozšiřování

Krácení zlomků

Při krácení zlomků jak jmenovatel tak i čitatel dělíme stejným číslem. Při krácení tedy hledáme takové číslo, kterým jde dělit jak čitatel, tak i jmenovatel zlomku. Takovouto úpravu můžeme dělat tak dlouho, až jediným společným dělitelem jmenovatele a čitatele je jednička. To znamená: Když najdu jiného společného dělitele jmenovatele a čitatele než jedničku, tak můžu zjednodušit zlomek krácením – jinak ne. V našem případě to tedy bude vypadat následovně:

\frac{2}{4}=\frac{2:2}{4:2}=\frac{1}{2}

Při krácení se tedy hodnota zlomku nemění! Jediné, co se mění, je zápis zlomku. Krácení zlomků je jednou z nejčastějších úprav výrazů se zlomky a proto je dobré si to procvičit. Následující příklady ti ukážou, jak se krácení provádí a upozorní tě na nejčastější chybu s práci se zlomky.

Příklady na krácení se zlomky

  1. \dfrac{42}{77}=\dfrac{42:7}{77:7}=\dfrac{6}{11}

    V tomto případě, obě dvě čísla jsou dělitelná 7. Po této úpravě dostaneme ve čitateli šestku a ve jmenovateli 11. Jelikož obě dvě čísla už nelze ničím jiným dělit než jedničkou, nemůžeme dále zlomek zjednodušit.

  2. \dfrac{54}{36}=\dfrac{54:9}{36:9}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{6:2}{4:2}=\dfrac{3}{2}

    V tomto příkladě vidíme postupné krácení. Toto krácení používám dost často. Po krácení 9 si všimneme, že 6 a 4 můžeme ještě dělit 2 a zbydou nám tedy tři poloviny. Jiná metoda (ale podle mě delší) je, když najdeme největšího společného dělitele čitatele a jmenovatele. V našem případě číslo 18 je největším společným dělitelem 54 a 36. Krácení tedy bude vypadat následovně: \frac{54}{36}=\frac{54:18}{36:18}=\frac{3}{2}

  3. \dfrac{2x+3x}{4x}=\dfrac{5x}{4x}=\dfrac{5x:x}{4x:x}=\dfrac{5}{4}

    V tomto příkladě vidíme, že je občas lepší před samotném krácením udělat jiné úpravy, abychom viděli, čím máme čitatel a jmenovatel dělit. Ne každý hned vidí, že (2x+3x) a 4x můžeme dělit x, ale když máme napsáno 5x a 4x, tak už je to daleko jednodušší.

  4. \dfrac{2x+8}{4}=\dfrac{2(x+4)}{4}=\dfrac{2(x+4):2}{4:2}=\dfrac{x+4}{2}

    V tomto příkladě jsme se setkali s jednou úpravou, která se používá hodně často. Jedná se o vytýkání, díky které změníme výraz na součin a tudíž je pak lehké vidět čím tento výraz je dělitelný. Ne každý vidí, že 2x + 8 je dělitelné 2, ale když napíšeme 2(x+4), tak je to už jednodušší vidět. Zde také vidíme, že před krácením, je dobré (nutné) mít jak v čitateli tak ve jmenovateli násobení.

  5. \dfrac{2x+7}{x}Mnoho lidí se tady snaží krátit proměnnou x. Tohle však nejde, jelikož čitatel (2x+7) není dělitelný x a tudíž tento zlomek už nemůžeme zjednodušit. Snažte se tedy před krácením dostat jak ve jmenovateli tak i v čitateli násobení.

Rozšiřování zlomků

Rozšiřování je podobná operace jako krácení. Narozdíl od krácení vynásobíme jak jmenovatel tak i čitatel stejným číslem. V našem příkladě to bude vypadat následovně:

\frac{1}{2}=\frac{1×2}{2×2}=\frac{2}{4}

Stejně jako u krácení, tak i u rozšiřování se hodnota zlomku nemění! Tato metoda se používá hodně při sčítání a odčítání zlomků (uvidíme v další sekci) anebo při odstraňování odmocniny z jmenovatele. Pro lepší pochopení se podívejme na následující příklady:

  1. \dfrac{6}{11}=\dfrac{6×7}{11×7}=\dfrac{42}{77}

    V tomto případě, obě dvě čísla násobíme 7. Z šesti jedenáctin tedy dostaneme čtyřicet dva sedmasedmdesátin.

  2. \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Tento příklad nám ukazuje, jak se dá zbavit odmocniny z jmenovatele pomocí rozšíření zlomku. Jmenovatel i čitatel vynásobím tou odmocninou a tím dostaneme odmocninu z jmenovatele pryč.

  3. \dfrac{2}{5-\sqrt{3}}=\dfrac{2(5+\sqrt{3})}{(5-\sqrt{3})(5+\sqrt{3})}=\dfrac{2(5+\sqrt{3})}{5-3}=\dfrac{2(5+\sqrt{3})}{2}

    V tomto příkladě vidíme znovu, jak se zbavíme odmocniny z jmenovatele. Narozdíl od horního příkladu zde rozšiřujeme složitějším výrazem 2+\sqrt{3}. Při tomto využíváme vzorečku rozdílu čtverců (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Této úpravě se také říka usměrňování zlomků.

Sčítání zlomků

Máme-li sčítat zlomky, které mají stejný jmenovatel, je to docela jednoduché. V takovémto případě totiž stačí sečíst čísla  v čitateli. Následující příklad nám tuto situaci ještě lépe znázorní:

\frac{2}{24}+\frac{4}{24}+\frac{5}{24}+\frac{8}{24}=\frac{2+4+5+8}{24}=\frac{19}{24}

Ale co když se čísla ve jmenovateli liší? V takovémto případě musíme čísla ve jmenovateli udělat stejnými, abychom se dostali do situace podobné té horní. Pro lepší pochopení se podívejme na následující příklad:

\frac{1}{12}+\frac{3}{8}

Jak tedy můžeme udělat čísla ve jmenovateli stejnými. Nejlehčí způsob, jak dostat u obou zlomků stejné číslo ve jmenovateli je, že první zlomek rozšíříme druhým jmenovatelem a druhý zlomek rozšíříme prvním jmenovatelem a dostaneme tedy:

\frac{1×8}{12×8}+\frac{3×12}{8×12}=\frac{8}{96}+\frac{36}{96}=\frac{44}{96}

Všimneme-li si, tento zlomek můžeme krátit ještě 4 a dostaneme tedy:

\frac{44}{96}+\frac{44:4}{96:4}=\frac{11}{24}

Ale co když máme tři sčítance jako v následujícím příkladě?

\frac{1}{8}+\frac{5}{12}+\frac{7}{24}

V takovémto případě je nejjednoduší každý zlomek rozšířít součinem jmenovatelů ostatních zlomků. Když takovouto úpravu udělame, dostaneme:

\frac{1×12×24}{8×12×24}+\frac{5×8×24}{12×8×24}+\frac{7×12×8}{24×12×8}=\frac{288}{2304}+\frac{960}{2304}+\frac{672}{2304}=\frac{1920}{2304}

V takto získaném zlomku se jak ve jmenovateli tak i v čitateli vyskytují relativně velká čísla a není snadné vidět na první pohled, že tento zlomek můžeme zjednodušit krácením. Proto je rozumné krátit postupně. V každém kroku krátím číslem, které mě první napadne:

\frac{1920}{2304}=\frac{1920:2}{2304:2}=\frac{960}{1152}=\frac{960:2}{1152:2}=\frac{480}{576}=\frac{480:4}{576:4}=\frac{120}{144}=\frac{120:6}{144:6}=\frac{20}{24}=\frac{20:4}{24:4}=\frac{5}{6}

Ale jak vidíte, je takovýto postup sčítání docela zdlouhavý a když budeme mít čtyři, pět či více sčítanců, dostaneme ještě větší čísla. Nabízí se tedy otázka, jestli to nejde udělat nějak jinak. A jako v jiných připadech, tak i v tomto si matematici dokáží poradit pomocí úpravy zlomků na společný jmenovatel.

Převod zlomků na společný jmenovatel

Této úpravě se také někdy říká převod na nejmenší společný jmenovatel a spočívá v v hledání nejmenšího společného násobku jmenovatelů. Když se tedy vrátíme k našemu příkladu se dvěma sčítanci , hledáme tedy nejmenší společný jmenovatel 12 a 8 a tím je 24. To znamená že první zlomek musíme rozšířit 2 a druhý zlomek 3 abychom do jmenovatele dostali 24. Následující zápis ti to pomůže vidět rychleji.

\frac{1}{12}+\frac{3}{8}=\frac{1×2}{12×2}+\frac{3×3}{8×3}=\frac{2}{24}+\frac{9}{24}=\frac{11}{24}

Jak vidíte dospěli jsme ke stejnému výsledku jako na hoře, ale mnohem rychleji. Výhodnost této metody se na plno ukáže v našem příkladu se třemi sčítanci. I zde je společný jmenovatel 24 a tedy první zlomek musíme rozšiřovat 2, druhý 3 a třetí 1 (tedy nechat ho, jak je):

\frac{1}{8}+\frac{5}{12}+\frac{7}{24}=\frac{1×3}{8×3}+\frac{5×2}{12×2}+\frac{7×1}{24×1}=\frac{3}{24}+\frac{10}{24}+\frac{7}{24}=\frac{20}{24}=\frac{5}{6}

V tomto případě je už jednoduché vidět, že zlomek musíme krátit 4 abychom dostali požadovaný výsledek:

\frac{20}{24}=\frac{20:4}{24:4}=\frac{5}{6}

Sčítání zlomků (graficky)

Grafické znázornění nám sčítání zlomků pomůže lépe pochopit. Stejně jako můžeme zobrazovat zlomky v kruhu, můžeme je zobrazovat v obdelníku (naše pizza je tedy hranatá). Na spodním obrázku sčítáme dva zlomky (\frac{1}{2}+\frac{2}{5}). Nejdříve si oba dva zlomky převedeme na společný jmenovatel. Tento převod je znázorněn spodní řadou obdelníků a tedy z 1/2 dostaneme 5/10 a z 2/5 dostaneme 4/10. Tyto dvě čísla už je docela lehké sečíst:
Sčítání dvou zlomků graficky

Když nám výsledek výjde větší jak 1, bude tento výsledek znároněn jedním celým obdelníkem a kouskem druhého obdelníku. To můžeme vidět na spodním obrázku:
Sčítání dvou zlomků s výsledkem větší jak 1

Odčítání zlomků

U odčítání zlomků používáme stejné metody jako u sčítání. To znamená, že si můžeme vybrat, zda budeme každý zlomek rozšiřovat součinem zbylých jmenovatelů (pomalejší metoda) a nebo rovnou budeme hledat nejmenší společný jmenovatel. Podívejme se na následující příklad, na kterém si odčítání zlomků můžeme jednoduše vysvětlit:

\frac{13}{24}-\frac{3}{8}-\frac{1}{12}

Je lehké vidět, že nejmenším společným jmenovatelem je 24. To znamená: první zlomek můžeme nechat, jak je, druhý zlomek rozšíříme trojkou a třetí zlomek rozšíříme dvěma:

\frac{13}{24}-\frac{3×3}{8×3}-\frac{1×2}{12×2}=\frac{13}{24}-\frac{9}{24}-\frac{2}{24}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}

Odčítání zlomků (graficky)

Stejně jako sčítání zlomků, tak i odčítání zlomků si můžeme relativně lehce představit graficky. Na spodním obrázku odčítáme dva zlomky (\frac{1}{2}-\frac{2}{5}). Nejdříve si oba dva zlomky převedeme na společný jmenovatel. Tento převod je znázorněn spodní řadou obdelníků a tedy z 1/2 dostaneme 5/10 a z 2/5 dostaneme 4/10. Tyto dvě čísla už je docela lehké odečíst a dostaneme tedy 1/10:

Odčítání dvou zlomků graficky

Násobení zlomků

Násobení zlomků je velice jednoduché: V tomto případě násobíme čitatele mezi sebou a jmenovatele mezi sebou. Podivejme se na následující příklad:

\frac{5}{24} × \frac{5}{8}=\frac{5×5}{24×8}=\frac{25}{192}

U násobení zlomků se často setkáváme s krácením. Krácením totiž můžeme předejít tomu, že násobíme mezi sebou strašně velká čísla. Podívejme se tedy na následující příklad, který vyřešíme dvěma způsoby (bez a s průběžným krácením):
\frac{5}{24} × \frac{8}{15}

Bez průběžného krácení vynásobíme mezi sebou čitatele a jmenovatele. V čitateli dostaneme tedy 40 a ve jmenovateli 360. To můžeme zkrátit 40 a dostaneme finální výsledek (jak jsme psali výše, můžete krátit i postupně):

\frac{5}{24} × \frac{8}{15}=\frac{40}{360}=\frac{1}{9}

S průběžným krácením můžeme nejdříve krátit 1. čitatele a 2. jmenovatele pětkou a 1. jmenovatele a 2. čitatele 8. Nyní už můžeme rovnout vynásobit čitatele a jmenovatele mezi sebou a dostaneme tížený výsledek:
\frac{5}{24} × \frac{8}{15}=\frac{1}{3} × \frac{1}{3}=\frac{1}{9}

Dělení zlomků

Dělení zlomků se provádí tak, že se z druhého zlomku udělá zlomek převrácený a pak je mezi sebou vynásobíme. Pojďme se podívat na dva příklady, které nám dělení ještě lépe znázorní:

\frac{2}{3} : 2 = \frac{2}{3} : \frac{2}{1}= \frac{2}{3} × \frac{1}{2} =\frac{2}{6} =\frac{1}{3}

U horního příkladu by většina z vás hned řekla, že výsledek bude jedna třetina. My jsme ho zvolili sem abyste viděli jak funguje dělení u zlomků. Dvojku si můžu napsat jako 2/1 a to když převrátím tak dostanu 1/2. Tento převrácený zlomek pak stačí vynásobit dvěma třetinami a dostanu tedy dvě šestiny, což po krácení je jedna třetina. Následující příklad tento postup ještě jednou znázorní

\frac{5}{24} : \frac{15}{8}=\frac{5}{24} × \frac{8}{15}=\frac{1}{3} × \frac{1}{3}=\frac{1}{9}

Já jsem si dělení zlomků vždy pamatoval pomocí pravidla „vnější vnitřní“. Zapišme si horní dělení pomocí zlomku, abychom lépe pochopili, jak se toto pravidlo využívá:

\frac{\frac{5}{24}}{\frac{15}{8}}=\frac{5×8}{24×15}=\frac{1×1}{3×3}=\frac{1}{9}

V horním příkladě jsme využili tohoto pravidla, kdy jsme mezi sebou násobili vnější čísla 5 a 8 (náš čitatel) a vnitřní čísla 24 a 15 (náš jmenovatel). Zde můžeme opět lehce zkrátit a dostaneme kýžený výsledek.

Různé zápisy zlomků

Během výuky se budeš setkávat s různými zápisy zlomku. Jednotlivé zápisy si probereme zde.

Smíšené číslo (nepravý zlomek)

Složené zlomky jsou čísla, která se skládají z celého čísla a ze zlomku. V našem případě s pizzou to bude znamenat, že mám například 2 celé pizzy a jednu polovinu. Mezi příklady takovýchto zlomků patří následující čísla:

1\frac{1}{4},7\frac{5}{12},-3\frac{5}{6},11\frac{1}{3}

Smíšená čísla se dají převést na čísté zlomky a to tak, že celé číslo si představíme jako zlomek c/1 a rozšíříme ho jmenovatelem zlomku. Potom ho sečteme s tímto zlomkem. Vznikne nám tedy zlomek, kde čitatel je větší než jmenovatel. Takovýmto zlomkům říkáme nepravé zlomky. Následující příklad nám to lehce znázorní:

11\frac{1}{3}=\frac{11}{1}+\frac{1}{3}=\frac{11×3}{1×3}+\frac{1}{3}=\frac{33}{3}+\frac{1}{3}=\frac{34}{3}

Složený zlomek

Může se stát že ve zlomku máme ještě jiný zlomek, který se nachází buď v čitateli nebo ve jmenovateli nebo v obou dvou. S takovýmto případem jsme se už setkali při dělení zlomků a tudíž používáme i stejných technik jako při dělení zlomků. Pojďme se nyní podívat na následující tři možnosti:

  1. Zlomek v čitateli:

    \frac{\frac{1}{2}}{5}=\frac{1}{2}×\frac{1}{5}=\frac{1}{10}
    Samozřejmě i zde můžeme použít moji oblíbenou metodu „vnější vnitřní“. Když tuto metodu použíjeme, dostaneme:
    \frac{\frac{1}{2}}{5}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{1}}=\frac{1×1}{2×5}=\frac{1}{10}

  2. Zlomek ve jmenovateli:

    \frac{5}{\frac{2}{3}}=5×\frac{3}{2}=\frac{15}{2}
    Samozřejmě i zde můžeme použít moji oblíbenou metodu „vnější vnitřní“. Když tuto metodu použíjeme, dostaneme:
    \frac{5}{\frac{2}{3}}=\frac{\frac{5}{1}}{\frac{2}{3}}=\frac{5×3}{1×2}=\frac{15}{2}

  3. Zlomek i ve jmenovateli i v čitateli:

    \frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}=\frac{4}{5}×\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}
    Samozřejmě i zde můžeme použít moji oblíbenou metodu „vnější vnitřní“. Když tuto metodu použíjeme, dostaneme:
    \frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}=\frac{4×3}{5×2}=\frac{2×3}{5×1}=\frac{6}{5}

Jak změním desetinné číslo ve zlomek a obráceně?

Jak jsme si už řekli nahoře, všechna racionální čísla se dají napsat zlomkem. To znamená, že i desetinná čísla můžeme napsat pomocí zlomku. Každý zlomek můžeme tedy napsat pomocí desetinného nebo periodického čísla.

Jak se tedy dostanu od desetinného čísla ke zlomku?

  1. Odvodíme to z názvu: Vezměme si např. 0.3. Toto číslo čteme jako tři desetiny a proto ho můžeme napsat jako \frac{3 (tři)}{10 (desetiny)}. Druhým příkladem je 0.256. Toto číslo čteme jako dvěstěpadesátšest tisícín a proto ho můžeme napsat jako \frac{256}{1000}
  2. Předchozí příklady nám už i prozradili jak se tato transformace dá odvodit jinak. Do čitatele napíšeme to číslo za desetinnou čárkou. Do jmenovatele potom napíšeme 10^{počet desetinných míst}. To znamená, že 0,256=\frac{256}{10^3}=\frac{256}{1000}.

Co když mám číslo větší jak 1? V takovém to případě si můžu dané celé číslo napsat před zlomek a s číslem za desetinnou čárkou postupovat jako nahoře. Potom ze vzniklého smíšeného čísla můžeme napsat neúplný zlomek. Následující příklad nám znázorní tento postup:
4,027=4\frac{27}{1000}=\frac{4×1000}{1000}+\frac{27}{1000}=\frac{4027}{1000}

Jak převedu zlomek na desetinné číslo?

Nejlehčeji, ikdyž ne vždy nejrychleji to jde, když do jmenovatele dostaneme mocnitele 10, to znamená buď 1, 10, 100, 1000 atd. Toto nám totiž hned prozradí, kolik desetinných míst bude mít desetinné číslo – 0, 1, 2, 3 atd. Pak stačí vzít už jenom čitatel a napsat ho místo desetinných míst.  To znamená, že zlomek rozšiřuju nebo krátím tak, abych do jmenovatele dostal mocnitele 10. Pro lepší pochopení se pojďme podívat na následující příklady:

  1. \frac{3}{10}: Úprava tohoto zlomku je jednoduchá, jelikož ve jmenovateli máme mocninu deseti. Tento zlomek napíšeme přesně tak, jak ho čteme (tři desetiny) – 0,3.
  2. \frac{1}{25}: Tento zlomek si musím nejdříve rozšířit tak abych do jmenovatelu dostal nějakou mocninu 10. Když zlomek rozšíříme 4, dostaneme 4/100 a tudíž ho můžeme napsat 0,04.
  3. \frac{21}{70}: Tento zlomek můžeme krátit sedmi a dostaneme 3/10 a tudíž můžeme napsat 0,3
  4. \frac{14}{125}: Tento zlomek můžeme rozšířit osmi a dostaneme 112/1000 a můžeme tedy napsat 0,112

Převod periodických čísel na zlomky

Periodická čísla jsou desetinná čísla, která mají nekončný periodický rozvoj. Např. číslo 0.\overline{3} je periodické číslo. Čára nad trojkou znamená, že ta trojka se neustále opakuje a jde až do nekonečna. Dalšími takovými to číslo jsou například čísla 0.1\overline{6}1.\overline{7}, kde se až do nekonečna opakuje 6 respektivě 7.

Všechna periodická čísla můžu napsat pomocí zlomku. Jak to tedy funguje? Čísla periody napíšeme do čitatele. Do jmenovatele napíšeme číslo, které se skládá z tolika cifer, kolik máme v zápisu desetinného čísla. Na první místa napíšeme 9 (počet odpovídá počtu cifer v periodě) a na zbylá místa napíšeme 0. Následující příklady nám to objasní.

  1. 0.\overline{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}
  2. 0.1\overline{6}=0.1+0.0\overline{6}=\frac{1}{10}+\frac{6}{90}=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}
  3. 1.\overline{7}=1+\frac{7}{9}=\frac{16}{9}
  4. 0.00\overline{259}=\frac{259}{99900}
© Doktor Matika, 2018
X