ZAK01-01 – Vlastnosti operací

Komutativnost, asociativnost, distributivnost. Všichni jsme tato tři slova již někdy určitě slyšeli, málokdo ale ví, co opravdu znamenají. Pojďme to společně zjistit!

V celém světě matematiky existuje ohromné množství matematických operací, které lze s čísly, proměnnými a parametry provádět – z těch základních algebraických známe například sčítání a odčítání, násobení a dělení, nebo umocňování a odmocňování, patří sem však i pojmy jako absolutní nebo převrácená hodnota, operace z Booleovy algebry atd.

Aby mohli matematici všechny tyto operace nějak výhodně popisovat a navzájem porovnávat, začali si všímat specifických vlastností jednotlivých operací – některé operace tyto vlastnosti vykazovaly, jiné ne. Ať už tak či tak, výsledky tohoto zkoumání pomohly počtářům lépe pochopit vnitřní mechanismy zdánlivě jednoduchých operací a daly jim základ k naprosto novým objevům, dalece přesahujícím pole algebry.

A jak se vlastně tyhle vlastnosti nazývají? I přes četné pokusy vymyslet hezké české názvy se pro tyto tři kvality matematických operací udržela jména odvozená z latiny – komutativita, asociativita a distributivitaTak si je proberme jednu po druhé!

Kapitoly tohoto článku:

Komutativita

Komutativita je ze všech vlastností matematických operací asi tou nejsnáze pochopitelnou, podvědomě se s ní totiž setkáme již při úplných začátcích objevování matematiky. Říká, že u komutativní operace můžeme zaměnit pořadí hodnot a nezměníme tím výsledek. Naprosto matematicky bychom pak popsali komutativnost takto:

Binární operace je komutativní, pokud při ní nezáleží na pořadí operandů.

Pořád to nějak nejde do hlavy? Vezměme si na pomoc nejjednodušší komutativní operaci – sčítání. Představte si třeba, že máte pět jablek a kamarád vám další tři dá – najednou máte jablek osm. Stejného počtu ovoce byste ale dosáhli, kdybyste měli na začátku pouze tři jablka a kamarád jich vám dal pět – znovu byste měli osm jablek. Zde jsme si názorně ukázali, že u sčítání nezáleží na pořadí sčítanců, sčítání reálných čísel tedy můžeme popisovat jako komutativní operaci.

3 + 5 = 8\text{\ \ a také\ \ }5 + 3 = 8

Mezi další komutativní operace patří násobení reálných čísel, sčítání a násobení komplexních čísel či některé operace s vektory.

3\cdot 7 = 21\text{\ \ a také\ \ }7\cdot 3 = 21

Komutativní operací naopak není například odčítání, dělení či umocňování a odmocňování.

2 - 4 = -2 \text{\ \ ale\ \ } 4 - 2 = 2

\frac{6}{2} = 3 \text{\ \ ale\ \ } \frac{2}{6} =\frac{1}{3}

2^3 = 8\text{\ \ ale\ \ } 3^2 = 9

Asociativita

Slovy asociativní operace popisujeme v matematice takové operace, které mají více vstupních hodnot, u kterých je pro konečný výsledek jedno, jak je sdružíme. Přesná matematická definice zní následovně:

Binární operace * na množině \mathbb{S} je asociativní, když pro všechna x, y, z\in S platí, že x*(y*z) =(x*y)*z.

Ukažme si znovu vlastnost na nějakém příkladu – nejjednodušší bude zase naše staré dobré sčítání.

Proteď si představme, že máme v peněžence určitý obnos peněz – jednu 200 Kč bankovku, jednu desetikorunu a jednu pětikorunu. Jak zjistíme, kolik máme k dispozici peněz celkem? Můžeme peníze počítat postupně podle hodnoty, tedy první 200 + 10, což je 210 Kč, k nimž přičteme ještě 5 Kč. Máme 215 Kč. Stejně tak bychom ale mohli první sečíst například hodnoty všech mincí, tedy 10 + 5 = 15 a až poté k nim připočítat hodnotu bankovky. Ať už se vydáme kteroukoliv cestou, stále nám vyjde ten samý celkový obnos peněz. Sčítání reálných čísel je asociativní.

(200 + 10) + 5 = 200 + (10 + 5)

Vedle sčítání reálných čísel je znovu asociativní operací i násobení reálných čísel, sčítání i násobení komplexních čísel či operace s vektory a množinami.

(2\cdot 3) \cdot 4 = 24 = 2\cdot (3\cdot 4)

Na sdružování a pořadí operací naopak znovu záleží při odčítání, dělení, umocňování či vektorovém součinu dvou vektorů.

(2-3)-1 = -2 \text{\ \ ale\ \ } 2-(3-1) = 0

2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \text{\ \ ale\ \ } (2^2)^3 = 4^3 = 64

Distributivita

Poslední z trojice základních vlastností matematických operací je takzvaná distributivita. Ta popisuje jeden dost specifický vztah mezi dvěma operacemi, který popisujeme jako distribuci operace přes jinou operaci. V běžné matematické praxi jde většinou o tzv. roznásobování součtu.

Binární operace * je distributivní vůči operaci + na množině \mathbb{S}, jestliže pro všechna x, y, z\in S platí, že x*(y+z) = (x*y)+(x*z).

V běžné středoškolské matematice se s distributivitou však setkáme pouze právě u roznásobování součtu reálných či komplexních čísel, umocňování součinu reálných nebo komplexních čísel a v menší míře ještě například u roznásobování vektorů skalární hodnotou atd.

 5\cdot (2+3) = 5\cdot 2 + 5\cdot 3

(3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2

Cizí slova a jak jim rozumět?

Ve článku jsme při matematických definicích použili několik cizích termínů z teoretické algebry, kterým nemusí každý čtenář hned rozumět. Níže tedy najdete jednoduché vysvětlení použitých pojmů.

Binární operace

Binární operace je taková operace, která se provádí se dvěma vstupními hodnotami (tzv. operandy). Jako binární operaci je tak možno popsat například sčítání, odčítání, násobení, dělení atd.

2.7 – dvě vstupní hodnoty (2 a 7)

4+5 – dvě vstupní hodnoty (4 a 5)

\frac{13}{5} – dvě vstupní hodnoty (13 a 5)

2+4+5 – na každé plus vycházejí dvě hodnoty (první plus: 2 a (4+5), druhé plus (2+4) a 5)

Operand

Jak již bylo popsáno v odstavci výše, cizím slovem operand v matematice popisujeme nějakou hodnotu, se kterou se provádí matematické operace.

2.7 – dva operandy (2 a 7)

\frac{2+5}{7} – sčítání v čitateli pracuje se dvěma operandy (2 a 5), dělení také ((2+5) a 7).

© Doktor Matika, 2018
X