ZAK00-01 – Základní vzorce pro práci s výrazy
Dnes si ukážeme několik nejzákladnějších vzorců pro úpravy matematických výrazů s mocninami dvojčlenů. V tomto článku se tedy dozvíme, jak zjistit hodnotu výrazu např. \left(2x+5y\right)^3 , nebo rozložit výraz a^2 - 4b^2 na součin jiných dvou dvojčlenů. Mimoto vás ale také naučím, jak si podobné vzorce odvodit pro vyšší mocniny dvojčlenů, jako např. \left(5u-7v\right)^5 pomocí tzv. binomické věty.
Bez dalšího otálení, základní vzorce pro druhé a třetí mocniny dvojčlenů vypadají takto:
\left(a+b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\left(a-b\right)^2 = a^2 - 2ab + b^2
\left(a+b\right)^3 = a^3 + 3a^2 b +3ab^2+ b^3
\left(a-b\right)^3 = a^3 - 3a^2 b +3ab^2 - b^3
Vedle těchto několika vzorců jsou však ještě velmi známé (a užitečné) vzorce pro rozklad součtu či rozdílu dvou mocnin na součin závorek:
a^2-b^2 =\left(a-b\right)\left(a+b\right)
a^3+b^3 =\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)
a^3-b^3 =\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)
a2+b2?
Jak sami vidíte, jeden vzorec jakoby nám v uvedeném výčtu scházel – neměl by přece logicky existovat i vzorec pro rozklad výrazu a^2+b^2? A jestli ano, kam se nám v tom případě poděl?
Správná odpověď je, že vzorec pro zjednodušení tohoto výrazu (v oboru reálných čísel) samozřejmě neexistuje. Můžeme si sice podle situace a potřeby vymýšlet rovnosti pomocí předchozích vzorců, tedy např:
a^2+b^2 =\left(a+b\right)^2-2ab
a^2+b^2 =\left(a-b\right)^2+2ab
Žádný z těchto vzorců však daný výraz přímo nezjednodušuje, či jej nerozkládá na součin s nižšími mocninami, proto se tyto vzorce obecně neužívají. Uplatnění ale nacházejí například v takzvaném „doplnění na čtverec“, o kterém však bude řeč zase někdy jindy.
Sluší se však ještě uvést, že pokud rozšíříme množinu použitelných čísel na komplexní čísla, můžeme výraz a2+b2 analogicky podle vzorce pro a2-b2 rozložit jako a^2+b^2 =\left(a+ib\right)\left(a-ib\right), kde i je imaginární jednotka, tedy i=\sqrt{-1}
Binomická věta aneb Jak odvodit vzorce pro vyšší mocniny?
Někdy se nám ale stane, že potřebujeme zjednodušit výraz s vyšší mocninou, např. \left(x+2\right)^5 . Roznásobovat pět stejných závorek by ale byla otrava a vzorce pro práci s takto vysokými exponenty v tabulkách najdeme jen zřídkakdy, poradit si tedy budeme muset jinak.
Na pomoc si tak pozveme trochu kombinatoriky a z ní jeden velice speciální nástroj zvaný binomická věta. Tak hezky popořadě.
Binomická věta říká, že n-tá mocnina dvojčlenu se podle ní dá rozdělit na součet n+1 sčítanců.
Řečeno polopatě, např. \left(a+b\right)^2 rozložíme na tři sčítance \left(a^2+2ab+b^2\right), protože je tu závorka ve druhé mocnině (je „na druhou“). \left(a+b\right)^3 se tak podle binomické věty dá rozložit na 4 sčítance (což už také víme, že je pravda), \left(a+b\right)^4 na 5 sčítanců a tak dále.
To vše se sice hodí, ale stále nevíme, co jsou tyto sčítance zač. Podíváme se tak o kousek dál na onu binomickou větu. Její ryze matematický zápis popisuje sčítance takto:
\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k
Většině z vás ani tohle zatím nic moc neřekne, rozebereme si tedy vzorec (nebo větu, jak chcete) kousek po kousku.
Věta zaprvé říká, že s každým sčítancem bude mocnina prvního členu (zde a) klesat, zatímco mocnina druhého členu (zde b) růst. U běžného vzorce s druhou mocninou tedy budou sčítance vypadat následovně; jen pro jistotu ještě připomenu, že cokoliv „na nultou“ je jedna; v součinu s jiným členem tedy tento člen zmizí:
\left(a+b\right)^2=a^2 b^0 + a^1 b^1+ a^0 b^2
Všímavější čtenář však zpozorní – ve vzorečku přeci chybí u druhého členu koeficient 2! Jak tedy obecně sčítancům připíšeme odpovídající koeficienty? Binomická věta v základu sice určuje koeficienty pomocí kombinačních čísel, my si ale vystačíme s tzv. Pascalovým trojúhelníkem:
Zde vidíme prvních pět řádků Pascalova trojúhelníka; jak ale obrázek sám naznačuje, můžeme jej počítat dál a dál pro jakoukoliv mocninu. Jednotlivá čísla v trojúhelníku pak dostaneme tak, že na strany vždy připíšeme jedničky a další čísla získáme jako součet odpovídajících čísel z řádku předchozího.
Pak již jen stačí najít řádek odpovídající naší mocnině a čísla využít jako koeficienty sčítanců.
Praktická ukázka binomické věty:
Řekněme, že chceme zjednodušit výraz \left(2x+y\right)^4. První si tedy rozepíšeme mocniny členů:
(2x)^4 y^0 + (2x)^3 y^1 + (2x)^2 y^2 + (2x)^1 y^3 + (2x)^0 y^4
A nyní přidáme ke každému sčítanci odpovídající koeficient ze čtvrtého „patra“ Pascalova trojúhelníka.
1(2x)^4 y^0 + 4(2x)^3 y^1 + 6(2x)^2 y^2 + 4(2x)^1 y^3 + 1(2x)^0 y^4
Teď již stačí jen zjednodušit a vyčíslit mocniny:
16x^4 + 32x^3 y + 24x^2 y^2 + 8x y^3 + y^4
A máme hotovo!
Poznámka: Při zjednodušování výrazů s mínusem (jako \left(x-2y\right)^3 nebo \left(16-x\right)^7) je před prvním sčítancem znaménko +, před druhým -, před třetím znovu + atd.
