ZAK00-02 – Doplnění na čtverec

Po přečtení tohoho článku budete přesně vědět, jak a kdy používat doplnění na čtverec. Doplnění na čtverec je matematický postup, který se využívá při úpravě kvadratických výrazů ve tvaru ax^2 +bx+c, kde a a b mohou být libovolná čísla kromě nuly. Abyste si to lépe představili, tady uvádíme několik příkladů takovýchto výrazů:

x^2+2x+3,
3x^2+12x+2,
-x^2+x

Teď vás asi napadne, k čemu mi doplňování na čtverec vůbec je. Díky této metodě můžete rychleji vyřešit kvadratické rovnice, zjistit vrchol a tím i extrémy u kvadratických funkcí nebo popsat kružnici či elipsu. Na konci tohoto článku uvidíte několik názorných příkladů využítí této úpravy. Sekce s výukovými videí nabízí také hodně aplikací této metody.

Co je doplnění na čtverec?

Doplnění na čtverec je matematická úprava kvadratických výrazů ve tvaru ax^2+bx+c, při které využíváme vzorce pro druhé mocniny dvojčlenů. Na konci této úpravy bychom měli dostat nějaký výraz v závorce na druhou (t.j. čtverec) + nějaký jiný výraz.

K této úpravě budeme tedy potřebovat základní vzorce pro druhé mocniny dvojčlenů. Pojďme si tyto vzorce připomenout:

  1. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, více o tomto vzorci zde
  2. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, více o tomto vzorci zde

V prvním kroku se budeme tedy snažit, abychom výraz ax^2+bx+c dostali do takového tvaru, kde můžeme použít jeden z dvou horních vzorců. Náš postup bude přitom záviset zda x^2 se v původním výrazu vyskytuje jenom jednou a nebo víckrát. V následujících dvou odstavcích si obě dvě možnosti ukážeme.

Doplnění na čtverec u ax^2+bx+c, a=1

Pro lepší pochopení si na pomoc vezmeme náš konkrétní případ x^2+2x+3. Dolní obrázek nám názorně ukáže jak doplnění na čtverec u tohoto výrazu funguje:

  1. Úvod: Tento výraz si můžeme na kreslit jako červený čtverec se stranou x (obsah je x^2), zelený obdelník se stranami x a 2 (obsah: 2x) a modrý obdelník se stranami 3 a 1 (obsah: 3).
  2. Rozdělení obdélníku se stranou x: Zelený obdelník si pak rozdělíme na dva stejně velké obdelníky o stranách x a 1 a přiložíme je k červenému čtverci z jedné a druhé strany. Vznikne nám útvar, kterému už chybí strašně málo, aby z toho byl zase čtverec.
  3. Doplnění na čtverec: K tomuto útvaru proto doložíme malý oranžový čtvereček se tranou 1. Díky tomuto doplnění nám vznikl velký čtverece se stranou x+1. Teď už asi také chápete proč se této úprávě říká doplňování na čtverec.
  4. Odečtení doplňku: Jelikož jsme ale oranžový čtverec přidali, musíme ho i odebrat, abychom nezměnili původní výraz. To uděláme úplně na konci a vznikne nám proto (x+1)^2+2

Doplnění na čtverec

Nyní si ukážeme, jak doplníme do čtverce algebraicky:

  1. Úvod: Výraz si rozdělíme na dvě části – s proměnnou x a bez ní. \color{red}{x^2+2x} \color{grey}{ + 3 }
  2. Rozdělení výrazu s x na dva stejné výrazy: Vezmeme si výraz, kde se vyskytuje x v lineárním tvaru a rozdělíme si to na dvě stejné části. Misto 2x dostaneme tedy 2 * 1x. \color{red}{x^2+2*1x} \color{grey}{ + 3}
  3. Doplnění na čtverec: Nyní si vezmeme celou část výrazu s proměnnou x (tedy \color{red}{x^2+2*1x}) a využijeme jeden ze vzorců pro druhé mocniny dvojčlenů. Jelikož máme tady + 2 * 1x, použijeme vzorec (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Při použítí tohoto vzorce dostaneme tedy \color{red}{(x+1)*(x+1)=(x+1)^2}. Malý tip: Ta závorka se vždy skládá z x a přesně poloviny čísla, které je v původním výrazu u x, tady tedy polovina z dvojky.
  4. Odečtení doplňku: Při roznásobení našeho červeného „čtverce“ \color{red}{(x+1)^2}, dostaneme \color{red}{x^2+2x+1} a vydíme, že při porovnání s původním červeným výrazem nám přibývá 1. Tuto musíme tedy znovu odečíst a dostaneme \color{red}{(x+1)^2} \color{grey}{ + 3-1 = } \color{red}{(x+1)^2} \color{grey}{ + 2 }. Malý tip: Odečítáme vždy to číslo, které jsme přidali do závorky na druhou (tady: 1^2)

Zkráceně ta úprava potom vypadá následovně:

  1. x^2+2x+3= \color{red}{x^2+2x} \color{grey}{ + 3 = }
  2. \color{red}{x^2+2*1x} \color{grey}{ + 3 = }
  3. \color{red}{(x+1)^2} \color{grey}{ + 3-1 = }
  4. \color{red}{(x+1)^2} \color{grey}{ + 2 = (x+1)^2 + 2}

Doplnění na čtverec u ax^2+bx+c, a\neq1

Pro lepší pochopení si na pomoc vezmeme náš konkrétní případ 3x^2+12x+2. Spodní video nám přesně ukáže, jak takovýto výraz doplnit na čtverec. Tady se můžete podívat na krátké video, které vám ukáže geometrický postup. Pod videem najdete doplnění na čtverec algebraicky.

  1. Úvod: Výraz si rozdělíme na dvě části – s proměnnou x a bez ní. \color{red}{3x^2+12x}\color{grey}{ + 2}
  2. Vytknutí: Vezmeme si jenom část s proměnnou x a vytkneme z ní číslo, které se vyskytuje u druhé mocniny x: \color{red}{3(x^2+4x)}\color{grey}{ + 2}
  3. Rozdělení výrazu s x na dva stejné výrazy: Vezmeme si výraz, kde se vyskytuje x v lineárním tvaru a rozdělíme si to na dvě stejné části. Misto 4x dostaneme tedy 2 * 2x. \color{red}{3(x^2+2*2x)} \color{grey}{ + 2}
  4. Doplnění na čtverec: Nyní si vezmeme celou část výrazu s proměnnou x (tedy \color{red}{x^2+2*2x}) a využijeme jeden ze vzorců pro druhé mocniny dvojčlenů. Jelikož máme tady  2 * 2x, použijeme vzorec (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Při použítí tohoto vzorce dostaneme tedy \color{red}{3[(x+2)*(x+2)]=3[(x+2)^2]}.
  5. Odečtení doplňku: Při roznásobení vnitřní závorky dostaneme \color{red}{3[x^2+4x+4]}. Stejně jako v příkladu nahoře nám tady přibývá nějaké číslo (zde je to 4). Abychom výraz nepozměnili, musíme tu 4 odečíst: \color{red}{3[(x+2)^2} \color{grey}{ -4]}.
  6. Ronásobení a konečná úprava: Náš výraz tedy vypadá následovně \color{red}{3[(x+2)^2} \color{grey}{ -4]+2}. V tomto kroku roznásobíme jenom doplněk a uděláme závěrečnou úpravu: \color{red}{3(x+2)^2} \color{grey}{ -12+2=3(x+2)^2-10}

Zkráceně tato úprava vypadá následovně:

  1. 3x^2+12x+2=\color{red}{3x^2+12x}\color{grey}{ + 2 = }
  2. \color{red}{3(x^2+4x)}\color{grey}{ + 2 = }
  3. \color{red}{3(x^2+2*2x)} \color{grey}{ + 2 = }
  4. \color{red}{3[(x+2)^2} \color{grey}{ -4] + 2 = }
  5. \color{red}{3(x+2)^2} \color{grey}{ -12+2=3(x+2)^2-10}

Použití – určení vrcholu kvadratické funkce

Nyní si názorně ukážeme, jak doplnění na čtverec můžeme použít při určování grafu kvadratické funkce. K tomu si vezměme příklad, kdy máme určit vrchol funkce f(x)=-x^2+x

  1. Rozdělení na část s proměnnou a bez ní: \color{red}{-x^2+x}
  2. Vytknutí: \color{red}{-(x^2-x)}
  3. Rozdělení výrazu s x na dva stejné výrazy: \color{red}{-(x^2-2*\frac{1}{2}x)}
  4. Doplnění na čtverec: \color{red}{-[(x-\frac{1}{2})*(x-\frac{1}{2})]=-[(x-\frac{1}{2})^2]}.
  5. Odečtení doplňku: Při roznásobení horního výrazu dostaneme \color{red}{-[x^2-x+\frac{1}{4}]}. Vidíme, že zde přibývá \frac{1}{4}, kterou musíme znovu odečíst: \color{red}{-[(x-\frac{1}{2})^2} \color{grey}{ -\frac{1}{4}]}.
  6. Ronásobení a konečná úprava: \color{red}{-(x-\frac{1}{2})^2} \color{grey}{ +\frac{1}{4}}

Z poslední úpravy můžeme vyčíst, že vrchol této funkce leží v bodě V=(\frac{1}{2};\frac{1}{4}). Zároveň nám záporné znaménko před závorkou prozrazuje, že graf bude otočen dolů. Bod V představuje tudíž maximum. Chcete-li se dozvědět více o grafech kvadratických funkcí navštivte naší sekci s výukovými videi a nebo si to přečtěte zde.

kvadratická funkce při použití doplnění na čtverec

Použití – řešení kvadratické rovnice

Doplnění na čtverec se často používá při řešení kvadratických rovnic. Podívejme se tedy spolu na následující rovnic:

2x^2-12x-32=0
  1. Rozdělení na část s proměnnou a bez ní: \color{red}{2x^2-12x} \color{grey}{ -32=0}
  2. Vytknutí: \color{red}{2(x^2-6x)} \color{grey}{ -32=0}
  3. Rozdělení výrazu s x na dva stejné výrazy: \color{red}{2(x^2-2*3x)} \color{grey}{ -32=0}
  4. Doplnění na čtverec – mezikrok: \color{red}{2*[(x-3)*(x-3)]} \color{grey}{ -32}
  5. Odečtení doplňku: Při roznásobení horního výrazu dostaneme \color{red}{2*[x^2-6x+9]} \color{grey}{ -32} . Vidíme, že zde přibývá 9, kterou musíme odečíst. Naše rovnice bude proto vypadat: \color{red}{2*[(x-3)^2-9]} \color{grey}{ -32=0} .
  6. Ronásobení a konečná úprava: \color{red}{2(x-3)^2} \color{grey}{ -18-32=0}
  7. Vyřešit rovnici:

2(x-3)^2-50=0 |+50
2(x-3)^2=50 |÷2
(x-3)^2=25 |√
(x-3)=\pm5 |+3
x_1=5+3=8, \text{ } x_2=-5+3=-2

Poznámka: Kvadratické rovnice řešíme samozřejmě nejčastěji pomocí diskriminantu. V některých případech může být řešení pomocí doplnění na čtverec rychlejší. O metodách řešení kvadratických rovnic se dozvíte více zde.

© Doktor Matika, 2018
X