ZAK02 – Číselné obory

Dnes si povíme něco o úplném základu matematické teorie – rozdělení čísel na tzv. číselné množiny. Zde se tedy konečně dozvíme, co jsou to ta reálná nebo přirozená čísla a proč je toto rozdělení v matematice vlastně tak důležité.

Kapitoly tohoto článku:

Pro zapomnětlivce i všechny ostatní první připomeneme, co to vůbec taková množina je.

Množina je soubor objektů, chápaný jako celek.

Jednou množinou tak může být např. jedna školní třída – prvky této množiny jsou pak její žáci; další množinu můžeme určit např. pouze z dívek ve třídě, z chlapců vyšších než 172 cm, zrzavých dívek se jménem začínajícím na souhlásku a tak dále.

Čísla pak do číselných množin (neboli oborů) rozdělujeme podle jejich specifických vlastností. Začněme pěkně popořadě:

\mathbb{N} neboli Přirozená čísla

Nejjednodušší a nejmenší číselnou množinou jsou přirozená čísla. To jsou čísla, které lidstvo znalo už od úplných počátků – lze s nimi totiž počítat na prstech ruky. Jsou to tak čísla v nejzákladnějším slova smyslu – prvních pár prvků je tedy \{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...\}, ale můžeme s nimi pokračovat až do nekonečna. Celkem logicky sem tedy ještě nepatří čísla jako -5, \frac{3}{5}, ani 0.333333333....

O množině přirozených čísel můžeme říci, že je nekonečně velká – ačkoli sice víme, že nejmenším přirozeným číslem je 1 (potažmo 0, o tom se přou i v nejvyšších matematických kruzích), největší přirozené číslo neznáme. Zároveň ale můžeme jednotlivé prvky množiny „spočítat“, říkáme tedy, že množina přirozených čísel je nekonečná spočetná.

\mathbb{Z} neboli Celá čísla

S příchodem obchodu a výměny zboží byla však potřeba zavést i čísla, která by vyjadřovala „dluh“, či „nedostatek“ nějakého zboží nebo peněz. Druhou číselnou množinou jsou tedy celá čísla, která k přirozeným číslům přidávají jejich opačné hodnoty a nulu. Celými čísly tedy jsou např. čísla -2, 3, 0, 100, -5000 atd.

Stejně jako přirozená čísla je i množina celých čísel nekonečná a znovu spočetná (nyní ale neznáme ani nejmenší prvek množiny).

\mathbb{Q} alias Čísla racionální

Dříve či později však v obchodování lidstvo narazilo na problém. S příchodem dělení předmětů na menší celky, či rozpočítávání ceny se totiž obchodníci dostali např. k číslům jako \frac{2}{7} či -\frac{15}{2}. Jak již ze základní školy víme, ani jedno z těchto dělení nevychází jako celé číslo (beze zbytku), na pomoc si tedy musíme přizvat tzv. racionální čísla.

Jak již název (z latinského ratio = poměr) napovídá, jde o čísla vzniklá „poměrem“ dvou celých čísel. Množina racionálních čísel tedy obsahuje prvky obou předchozích množin, přidává k nim však ještě čísla jako -\frac{2}{7},\frac{15}{2}, 0.\overline{333} a tak dále.

Stejně jako předchozí dvě množiny jsou i racionální čísla nekonečnou množinou, zároveň jsou však znovu množinou spočetnou, k této vlastnosti existuje mnoho méně čí více triviálních důkazů.

\mathbb{I} neboli Čísla iracionální

Pojmem iracionální čísla pak logicky popisujeme čísla, která nespadají do předchozí množiny, tudíž je nemůžeme napsat ve tvaru podílu dvou celých čísel. Takovýchto čísel je znovu nekonečně mnoho, tentokrát již je ale množina nespočetná. Patří sem například čísla jako \sqrt{2}, \pi , e a podobné.

\mathbb{R} čili Reálná čísla

A konečně ona obávaná a dokola omílaná reálná čísla. Těmito dvěma slovy v matematice označujeme množinu zahrnující úplně všechna představitelná čísla; všechny předchozí číselné obory – množinu reálných čísel můžeme tedy rozdělit na čísla racionální a iracionální, v číslech racionálních pak najdeme menší množinu celých čísel a v ní ještě menší množinu čísel přirozených. Docela jednoduché, ne? Jen pro úplnost, reálných čísel je znovu nekonečně mnoho a jsou množinou nespočetnou (mimo jiné také protože obsahují nespočetnou množinu čísel iracionálních).

Ještě jednou si tedy vše připomeňme pomocí jednoduchého diagramu:

Základní rozdělení čísel do tzv. číselných množin

(Pro zopakování ještě jednou raději připomeňme, že iracionální čísla jsou taková reálná čísla, která nejsou racionální. V diagramu je tedy najdeme ve světle fialové nejvzdálenější oblasti.)

© Doktor Matika, 2018
X