ROV05 – Soustavy lineárních rovnic

V tomto článku se dozvíte, co si matematici představují pod pojmem „soustava rovnic“, jak se taková soustava řeší a k čemu jsou takové soustavy dobré v každodenním životě.

Další materiály

Kompletní kurz

Co je soustava rovnic?

Jak již jejich název napovídá, soustavy rovnic se skládají z jednotlivých rovnic, ať už kvadratických, exponenciálních, či prostých lineárních (nejčastěji v soustavách rovnic narazíme právě na rovnice lineární). Soustava pak vyjadřuje fakt, že rovnice v ní obsažené platí zároveň.
Proč ale vůbec matematici sdružují rovnice do nějakých soustav? Odpověď je jednoduchá – aby mohli použít více proměnných. Zatímco u lineární či kvadratické rovnice jsme mohli používat pouze jedno x (sice v různých mocninách, ale vždy označovalo tu samou hledanou hodnotu), se soustavami rovnic můžeme hledat těchto hodnot hned několik najednou. Celou výhodu soustav rovnic si můžeme představit na jednoduchém příkladu. Představte si, že vám někdo dá hádanku:

3 jablka a 4 hrušky stojí dohromady 31 korun. Kolik stojí jedno jablko? Kolik zaplatíme za hrušku?

Nebudu vás dlouho napínat, takováto hádanka má z hlediska matematiky nekonečně mnoho řešení – cena jablka může být libovolné reálné číslo, stejně tak cena hrušky; nevíme zda oba druhy ovoce stojí stejně, či je hruška dražší…

Abychom tak mohli spočítat jednotlivé ceny dvou druhů ovoce (dvě proměnné), musíme k úloze znát ještě nějakou informaci. Ta může vypadat například následovně:

Pepík koupil 4 jablka a 5 hrušek za 40 Kč.

Ačkoliv to může ze začátku znít podivně, z těchto dvou informací (cena původního nákupu a Pepíkova nákupu) již můžeme zjistit cenu za jeden kus každého ovoce. A jak to provedeme?

 Řešení soustavy rovnic – dosazovací metoda 

VIDEO

Na celý příklad se podíváme jako na tzv. soustavu rovnic – koneckonců, máme k dispozici dvě informace. Zaprvé víme, že 3 jablka a 4 hrušky stojí 31 korun To znamená, že za jablka zaplatím 3 × cena za jedno jablko (x) a za hrušky zaplatím 4 × cena za jednu hrušku (y). Zadruhé víme, že čtyři jablka a pět hrušek stálo 40 korun. Tyto dvě informace můžeme tedy zapsat jako dvě různé lineární rovnice, které zapíšeme pod sebe:

3x + 4y = 31

4x + 5y = 40

Jak si můžete všimnout, cenu jablka jsme označili proměnnou x, cenu hrušky y. Dosazovací metoda spočívá v tom, že si v jedné rovnici vyjádříme jednu proměnnou a vzniklý výraz dosadíme do druhé rovnice. To znamená, že stejně jako ve článku o základech rovnic si můžeme například ze druhé rovnice vyjádřit cenu jednoho jablka, tedy x.

Kolik tedy podle druhé rovnice stojí jedno jablko? Po provedení jednoduchých ekvivalentních úprav zjistíme, že cena jednoho jablka se vlastně rovná 40 korun, mínus cena pěti hrušek, to celé děleno čtyřmi (protože jsme znali cenu za čtyři jablka a pět hrušek)

4x + 5y = 40        |-5y

4x = 40 - 5y        |:4

x=\frac{40-5y}{4}

Tuto informaci pak můžeme dosadit do první rovnice soustavy, protože (jak jsme si řekli na začátku článku) obě rovnice v soustavě musejí platit najednou, tedy skutečnosti ze druhé rovnice musejí platit i v první rovnici. Za x v první rovnosti tedy dosadíme x = \frac{40-5y}{4}

3\frac{40-5y}{4} + 4y = 31

\frac{3}{4}(40-5y) + 4y = 31

No a je vystaráno! Dosazením x ze druhé rovnice do první jsme získali jednu rovnici o pouze jedné neznámé, kterou už teď můžeme řešit jako běžnou lineární rovnici pomocí ekvivalentních úprav následovně:

\frac{3}{4}(40 - 5y) + 4y = 31              |×4

3(40 - 5y) + 16y = 124

120 - 15y + 16y = 124                 |-120

y = 4

Právě jsme zjistili, že jedna hruška stojí 4 koruny.

A jak zjistíme cenu jablka? Buďto můžeme ze druhé rovnice nyní vyjádřit y (jako cenu hrušky) a z první rovnice dosazením získat cenu jablka; jde to však ještě jednodušeji – již vypočítanou cenu hrušky (4 Kč) můžeme dosadit do libovolné rovnice se dvěma proměnnými. Vybereme si například druhou zadanou rovnici (tu, která popisuje Pepíkův nákup) a za y dosadíme 4.

4x + 5 \cdot 4 = 40

4x + 20 = 40              |-20

4x = 20             |:4

x = 5

Jedno jablko stojí 5 korun.

Právě jsme si ukázali, jak řešit soustavy rovnic pomocí tzv. dosazovací metody – za proměnnou v jedné rovnici jsme si dosadili výraz vyjádřený v druhé rovnici. Touto metodou můžeme například řešit i soustavu rovnic, kde jedna rovnice je lineární a druhá například kvadratická.

Sčítací metoda

VIDEO

Zejména komplikovanější úlohy se soustavami rovnic lze však řešit i jinak – často se nabízí tzv. sčítací metoda.

Znovu se podíváme na naši původní soustavu rovnic:

3x + 4y = 31

4x + 5y = 40

Protože se tato metoda řešení jmenuje sčítací, půjde v ní překvapivě o sčítání – v tomto případě o sčítání jednotlivých rovnic soustavy. Stále nám jde ale o to, zbavit se jedné z proměnných, aby nám zůstala pouze jednoduchá lineární rovnice s jednou neznámou. Jak to tedy provedeme?

Dejme tomu, že se chceme zbavit proměnné y. Kdybychom ale rovnice sečetli ve tvaru, v jakém jsme je dostali, rozhodně bychom se jich nezbavili:

3x + 4y = 31

+

4x + 5y = 40

=

7x + 9y = 71

Vyšla by nám jen další rovnice se dvěma neznámými a nikam bychom se nepohnuli. Musíme na to jít trochu jinak.

Pomocí ekvivalentních úprav (nejčastěji násobení) upravíme obě rovnice tak, abychom při sčítání rovnice vlastně nechtěnou proměnnou odečetli. Tato úprava se většinou provádí tak, že rovnici vynásobíme koeficientem ze druhé rovnice u proměnné, které se chceme zbavit.

3x +{\color{blue}4}y = 31 / \cdot -{\color{red}5}

4x + {\color{red}5}y = 40 / \cdot{\color{blue}4}

Výsledná soustava tak bude vypadat nějak takto:

-15x - 20y = -155

16x + 20y = 160

Když teď rovnice sečteme, zjistíme, že se nám členy s ypsilon navzájem odečetly a zůstala nám znovu pouze lineární rovnice o jedné proměnné (x).

(-15x-20y)+(16x+20y) = -155+160

-15x-20y+16x+20y = 5

x = 5

Jedno jablko znovu stojí 5 korun. Nyní si toto číslo můžeme dosadit do libovolné rovnice. Vyberme si například první rovnici a dostaneme:

3 \cdot 5 + 4y = 31

15 + 4y = 31              |-15

4y = 16             |:4

y = 4

Odčítací metoda

Podobně jako sčítací metoda funguje metoda odčítačí. Zde ale obě dvě rovnice od sebe odčítáme. Stejně jako v předchozím případě musíme nejdříve obě dvě rovnice nejdříve upravit. Jelikož se chceme zbavit jedné proměnné, musíme udělat takové úpravy, které vedou ke stejnému koeficientu u proměnné, kterou chceme odstranit:

3x +{\color{blue}4}y = 31 / \cdot {\color{red}5}

4x + {\color{red}5}y = 40 / \cdot{\color{blue}4}

Výsledná soustava tak bude vypadat nějak takto:

15x + 20y = 155

16x + 20y = 160

Nyní můžeme rovnice od sebe odečíst. Zaměříme-li se na koeficient u proměnné x, vidíme, že u druhé rovnice je tento koeficient větší. Z tohoto důvodu je lepší odečíst od druhé rovnice první rovnici. Ale samozřejmě to můžeme udělat i obráceně. Zde budeme odečítat od druhé rovnice tu první:

(16x+20y) - (15x + 20y) = 160 - 155

(16x+20y) - 15x - 20y = 5

x = 5

Jedno jablko znovu stojí 5 korun. A stejně jako v předchozím případě si toto číslo dosadíme do libovolné rovnice např. do první:

3 \cdot 5 + 4y = 31

15 + 4y = 31              |-15

4y = 16             |:4

y = 4

Řešení soustavy rovnic graficky

VIDEO

V kurzu o funkcích stejně tak jako v analytické geometrii jsme si řekli, že algebraické výrazy můžeme zakreslit pomocí geometrických útvarů do kartézské soustavy souřadnic. V tomto případě můžeme naše rovnice zakreslit pomocí přímek, jelikož se jedná o lineární rovnice. Přičemž platí, že všechny body na přímce splňují danou rovnost.

To znamená: Tam kde se obě dvě přímky protnou (jestli vůbec) platí obě dvě rovnice a souřadnice tohoto bodu představují naše řešení. Vezmeme si tedy každou rovnici zvlášť a narýsujeme přímku, která tuto rovnice splňuje. Jen připomínám, že nejsnadnější způsob, jak takovouto přímku nakreslit, je najít dva body, které danou rovnici splňují. To znamená, že si určíme jednu proměnnou a vypočteme druhou. Když si tedy u rovnice 3x+4y=31 za x dosadíme 1, musí být y rovno 7. Máme tedy první bod [1;7]. Obdobně můžeme vypočítat i druhý bod [9;1]. Celou přímku pak nakreslíme tak, že oba dva body propojíme. Detailnější vysvětlení i s videem najdeš v našem kurzu o funkcích. Obdobně nakreslíme i druhou přímku a náš graf bude tedy vypadat následovně.

Grafické řefšení soustavy rovnic

Z obrázku můžeme hned vyčíst, že obě dvě přímky se protnou v bodě [5;4] a tudíž tato soustava má právě jedno řešení (x=5 a y=4).

Počet řešení soustavy rovnic

VIDEO

Při řešení soustavy rovnic můžeme najít jedno, žádné nebo nekonečně mnoho řešení. Na následujících příkladech si vysvětlíme, jak příjdeme na to, kolik řešeních daná soustava má. Kromě toho si ukážeme, jak vypadá grafické řešení soustav s jedním, žádným nebo nekonečně mnoho řešeními.

Soustavy rovnic s jedním řešením

Je dáná následující soustava rovnic:

2x+y=4

3x+2y=5

Jak jsme viděli nahoře, takovouto soustavu rovnic můžeme řešit několika způsoby. My si zde vybereme odčítací metodu, poněvadž u té nám stačí vynásobit první rovnici dvěma a odečíst od ní druhou.

2x+y=4     |×2

3x+2y=5

2\cdot(2x+y)-(3x+2y)=2\cdot4-5

Po jednoduché úpravě dostaneme

4x+2y-3x-2y=3

\fcolorbox{red}{white}{x=3}

Dostali jsme tedy, že x = 3. Nyní tento výsledek můžeme vzít a dosadit ho do libovolné rovnice. Jelikož se v prní rovnici vyskytuje jenom jedno y, bude jednodušší to dosadit do prní rovnice:

2\cdot3+y=4

6+y=4

Nyní můžeme velice snado vypočítat y.

6+y=4         |-6

\fcolorbox{red}{white}{y=-2}

Naše soustava má tedy jedno řešení a to: x=3 a y=-2. Graficky to znamená že obě dvě přímky se protnou právě v jednom bodě, který má souřadnice [3,-2].

Soustava rovnic s jedním řešením

Soustavy rovnic s žádným řešením

Je dáná následující soustava rovnic:

6x+4y=8

3x+2y=5

I zde se rozhodneme pro odčítací metodu, v které druhou rovnici vynásobíme dvěma a odečteme jí od první. Tak se opět zbavíme proměnné y.

6x+4y=8

3x+2y=5         |×2

(6x+4y)-2\cdot(3x+2y)=8-2\cdot5

Po jednoduché úpravě dostaneme

6x+4y-6x-4y=-2

\fcolorbox{red}{white}{0=-2}

Dostali jsme tedy, že 0 = -2. Tato rovnost nikdy neplatí a proto tato soustava nemá žádné řešení. Graficky se to projevuje tak, že obě dvě přímky jsou rovnoběžky, které se nikdy neprotnou.

Soustava rovnic s žádným řešenímSoustavy rovnic s nekonečně mnoha řešeními

Je dáná následující soustava rovnic:

9x+6y=15

3x+2y=5

I zde se můžeme rozhodnout pro odčítací metodu. Z procvičovacích důvodů si tentokrát vybereme metodu sčítací. Budeme tedy násobit druhou rovnici -3 a sečteme jí s první rovnicí.

9x+6y=15

3x+2y=5         |×-3

(9x+6y)+(-3)\cdot(3x+2y)=15+(-3)\cdot5

Po jednoduché úpravě dostaneme

9x+6y-9x-6y=0

\fcolorbox{red}{white}{0=0}

Dostali jsme tedy, že 0 = 0.  Tato rovnost platí vždycky (pro jakákoliv čísla) a proto naše řešení můžou být libovoná čísla. My říkáme, že takováto soustava má nekonečně mnoho řešení. Graficky se to projevuje tak, že obě dvě přímky leží na sobě.

Soustava rovnic s nekonečně mnoho řešeními

V tomto článku jsme si ukázali, jak vypadá řešení soustavy rovnic s dvěma lineárními rovnicemi. Obdobné metody můžeme využít při řešení soustav, kdy jedna rovnice je lineární a jedna lineární není. Mimoto existují také soustavy s vícero rovnicemi. O jejich řešeních si řekneme více v dalším článku.

Další materiály

Kompletní kurz

© Doktor Matika, 2018
X