ROV02-01 – Jak řešit lineární rovnice

V tomto článku si společně probereme, co jsou lineární rovnice a jak takové rovnice můžeme řešit.

Další materiály

Kompletní kurz

Základní tvar lineární rovnice

VIDEO

Lineární rovnice jsou rovnice, které můžeme upravit na základní tvar:

ax+b=0

kde x je neznámá a koeficienty a,b jsou libovoná reálná čísla. Přitom a nesmí být 0. Členu ax říkáme lineární člen a koeficientu b říkáme absolutní člen. Lineární rovnici tedy můžeme definovat následovně:

Lineární rovnice je rovnice, která obsahuje jednu neznámou x, která není nijak umocněná, odmocněná apod. Je to každá rovnice, kterou můžeme pomocí ekvivalentních úprav změnit na y=ax+b, kde a\neq0

Příklady lineární rovnice

Podívejme se nyní na několik příkladů lineárních rovnic:

  • x+2=4
  • 2x+3=7
  • \left(3x+1\right)^2+\left(4x+1\right)^2=\left(5x+1\right)^2+1
  • \sqrt{5}\left(x-1\right)=\sqrt{3}-3x

V horních příkladech si můžeme povšimnout dvou věcí:

  1. Ne všechny příklady se zdají být na první pohled lineárními rovnicemi. Zejména třetí a čtvrtá rovnice vypadají trochu hrůzostrašně. Za malinký moment si ale ukážeme, že i tyto rovnice patří k lineárním rovnicím
  2. Některé rovnice můžeme vyřešit docela jednoduše (většina z vás asi hned řekla, že řešením první rovnice je číslo 2). Na druhou stranu jsou zde i rovnice, které už tak lehce vyřešit nepůjde. Potřebujeme tedy nějaký konkrétnější postup.

Když tedy horní rovnice upravíme do tvaru ax+b=0, což take můžeme psát jako ax=-b, nejenže ukážeme, že daná rovnice je opravdu lineární, ale i řešení této rovnice bude snadné. Našim cílem bude tedy dostat rovnice do tvaru ax=-b. Laicky říkáme, dát všechno, kde se objevuje neznáma x na jednu stranu a vše ostatní na stranu druhou.

K tomu abychom dostali rovnice do takového tvaru, musíme buď upravit výrazy samotné (na levé a pravé straně zvlášť) nebo použít ekvivalentních úprav rovnic, o kterých jsme si povídali v dřívějších člancích a videích. Zde si uděláme krátký exkurs.

Exkurs: Ekvivalentní úpravy

Ekvivalentní úpravy jsou úpravy, které nezmění fakt rovnosti dvou čísel nebo výrazů. To znamená, že čísla, která se rovnají / nerovnají  před úpravou se musí rovnat / nesmí rovnat i po úpravě. Jinými slovy se těmito úpravami nezmění výsledek rovnice. Cílem takovýchto úprav  je dostat rovnici  do tvaru, s kterým se lépe počítá. Jaké ekvivalentní úpravy tedy známe?

  • Přičítání reálného čísla nebo neznámé (popř. výrazu obsahujícího neznámou). Podívejme se následující dva příklady, které nám tuto úpravu lépe vysvětlí:

x-5=10    |+5

x=10+5

x=15


-x=-2x+6    |+2x

-x+2x=6

x=6

  • Odečítání reálného čísla nebo neznámé (popř. výrazu obsahující neznámou). Opět si ukážeme dva příklady, na kterých bude zřetelné co tím myslíme.

x+2=4    |-2

x=4-2

x=2


3x=2x+6    |-2x

3x-2x=6

x=6

  • Násobení reálného čísla nebo neznámé (popř. výrazu obsahující neznámou) kromě nuly. To znamená, že můžeme násobit vším kromě nuly.

\frac{x}{2}=10    |×2

x=10\cdot2

x=20


\frac{4}{2x}=\frac{1}{2}    |×2x

\frac{4}{2x}\cdot2x=\frac{1}{2}\cdot2x

4=x

U druhého příkladu je nutná podmínka, že výraz 2x se nesmí rovnat nule. To znamená, že neznáma x se nesmí rovnat nule. Jinak by byla nula ve jmenovateli a my víme, že nulou nesmíme dělit.

  • Dělení reálným číslem nebo neznámou (popř. výrazem obsahující neznámou) kromě nuly. Následující příklad nám tuto úpravu objasní:

7x=14    |÷7

7x÷7=14÷7
 
x=2

Pozor! Je nutné, abys danou úpravu použil na obě dvě strany rovnice (to znamená jak na celou levou, tak i na celou pravou stranu).

Jak řešit lineární rovnice?

V našem exkurzu o ekvivalentních úpravach jsme viděli několik příkladů rovnic a jak tyto příklady řešit. Cílem jakékoliv rovnice je najít takové x, pro které daná rovnost platí. To znamená, že hledáme číslo, které můžeme za naší neznámou x dosadit tak, že naše rovnice platí. Obecně můžeme postup řešení popsat v následujících třech krocích.

  1. Zjednodušení každé strany rovnice zvlášť (základní operace, roznásobování, vytýkání)
  2. Osamostatnění neznáme x – dostat x na jednu stranu a vše ostatní na druhou stranu (pomocí ekvivalentních úprav)
  3. Vypočítání neznáme x

Podívejme se na následující rovnici, která nám tento postup objasní:

2\left(2x-1\right)=3\left(x+1\right)

V prvním kroce budeme jak levou tak i pravou stranu roznásobovat.

4x-2=3x+3

Nyní už budeme používat ekvivalentní úpravy, abychom osamostatnili neznámou x.

4x-2=3x+3           |-3x

Nejdříve tedy odečteme z obou stran rovnice 3x, abychom všechny výrazy, kde se vyskytuje x, dostali na levou stranu. Touto úpravou dostaneme:

x-2=3            |+2

Nyní můžeme přičíst k oběma stranám 2, abychom čísla dostali na pravou stranou. Díky této úpravě vypočteme i naši neznámou x:

x=5

Interpretace výsledku rovnice

Řešením našeho příkladu je x = 5. Co to ale znamená?

Když si náš výsledek vezmeme a dosadíme do naší původní rovnice, obdržíme:

Levá strana: 2\left(2\cdot5-1\right)=2\left(10-1\right)=2\cdot9=18

Pravá strana: 3\left(5+1\right)=3\cdot6=18

Po dosazení našeho výsledku do rovnice obdržíme tedy, že obě dvě strany rovnice se rovnají. Tímto jsem se ujistili, že jsme naší rovnici vypočítali správně.

Jak řešit lineární rovnice graficky?

VIDEO

Kromě čistě početního řešení můžeme výsledek lineárních rovnic vyčíst i z grafu. Při takovém postupu nám tedy pomohou lineární funkce. Je dobré si neustále opakovat vztahy mezi výrazy, funkcemi a rovnicemi. Podívejme se na následující dva příklady:


{\color{red}\frac{3}{2}x+1}={\color{blue}\frac{1}{2}x+2}


Kdybychom tuto rovnici vypočítali, zjistili bychom, že x=1. Následující obrázek nám ukáže, jak takovouto rovnici řešit graficky. Do obrázku si postupně naneseme levou a pravou stranu. Obě dvě strany si můžeme představit jako lineární funkce. Z obrázku je patrné, že obě dvě přímky se protínají právě v bodě, kde x = 1. To je naše řešení.

Grafické řešení lineární rovnice s jedním kořenem


{\color{red}x+1}={\color{blue}x+4}     |-x

1=4
Jelikož náš poslední řádek není pravda, nemá naše rovnice žádné řešení. Graficky to vypadá tak, že se obě dvě přímky neprotnou.

 

 

Grafické řešení lineární rovnice s žádným řešením


 
Potřebuješ-li si procvičit více příkladů nebo máš radši vysvětlení ve videích? Podívej se na náš online kurz!

Další materiály

Kompletní kurz

© Doktor Matika, 2018
X