ROV01-02 – Co jsou to nerovnice?
Tento článek slouží jako krátký úvod do světa nerovnic. Zde se dozvíš, co jsou to nerovnice, jak je můžeme řešit a jaké typy nerovnic známe.
Obsah
Další materiály
Úvod do nerovnic najdeš v kurzu o
lineárních rovnicích a nerovnicích
Před tím než si vysvětlíme, co jsou to nerovnice, je dobré si zopakovat, co jsou to rovnice. V předešlých článcích jsme si řekli, že rovnice popisují rovnost dvou výrazů:
- 5=5
- (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
- x^3-27=37
Úvod do nerovnic?
Nerovnice podobně jako rovnice porovnávají dva výrazy. Místo rovnítka však v nerovnicích používáme operátory nerovnosti:
Typ nerovnosti | Jak to čteme | Příklady |
---|---|---|
výraz 1 < výraz 2 | výraz 1 je menší než výraz 2 | 3 < 4 3 + x < 4 |
výraz 1 ≤ výraz 2 | výraz 1 je menší nebo rovný výrazu 2 | 3 ≤ 4 4 ≤ 4 3 + x ≤ 4 |
výraz 1 > výraz 2 | výraz 1 je větší než výraz 2 | 4 > 3 3 + x > 4 |
výraz 1 ≥ výraz 2 | výraz 1 je větší nebo rovný výrazu 2 | 4 ≥ 3 4 ≥ 4 3 + x ≥ 4 |
Jak řešit nerovnice
Cílem nerovnic je najít, pro kterou neznámou x daná nerovnice platí. V kontrastu s rovnicemi nám u nerovnic hodně často výjde interval jako řešení. Stejně jako u rovnic se i u nerovnic snažíme osamostatnit x: To znamená, že všechno, kde se vyskytuje neznámá x, přesouváme na jednu stranu a vše ostatní na stranu druhou. Při tom přesouvání používáme stejné úpravy jako u rovnic. Jak nám následující odstavce ukážou, musíme zde být trochu opatrnější. Jaké úpravy jsou tedy u nerovnic povoleny?
Úpravy nerovnic
Úpravy, které při řešení nerovnic používáme, musí splňovat dvě podmínky:
- Strana, která je menší před úpravou, musí být menší i po úpravě.
- Strana, která je větší před úpravou, musí být větší i po úpravě.
Úpravy tedy nesmí změnit ani rovnost ani nerovnost dvou čísel. Pojďme se nyní podívat na některé z těchto úprav:
- Na obou dvou stranách můžeme příčíst libovolné reálné číslo
a \leq b \quad\Rightarrow \quad a+c \leq b+c
Následující příklad nám ukáže, že nerovnost dvou čísel bude i po úpravě zachovaná:
7<11\quad|+10
7+10<11+10
17<21
Poznámka: Přičítání neznámou nebo výrazu s neznámou je také povolená úprava (např. +4x)! - Odečtení libovolného čísla na obou dvou stranách rovnice
a \leq b\quad \Rightarrow \quad a-c \leq b-c
4<12\quad|-20
4-20<12-20
-16<-8
Poznámka: Odečítání neznámé nebo výrazu s neznámou je povolená úprava (např. -(2x-5)! - Násobení nerovnice číslem3<7\quad|×2
3×2<7×2
6<143<7\quad|×(-2)
3×(-2)<7×(-2)
-6<-14Toto není pravda
Pravá nerovnost neplatí. Má být totiž obráceně. Pokud násobíme rovnice záporným číslem, musíme obracet znaménko! - Dělení nerovnice číslem4<8\quad|÷2
4÷2<8÷2
2<44<8\quad|÷(-2)
4÷(-2)<8÷(-2)
-2<-4Toto není pravda
Pravá nerovnost neplatí, má být totiž obráceně. Pokud dělíme rovnice záporným číslem, musíme obracet znaménko!
Další operace k úpravě nerovnic
- Nerovnici můžeme číst z obou dvou stran (a je menší než b nebo b je větší než a)
a < b \quad \longleftrightarrow \quad b > a - Nerovnice, které jsou stejně orientovány, můžeme k sobě sečíst.
a \leq b \quad\text{und}\quad c \leq d \quad \Rightarrow \quad a+c \leq b+d
a < b \quad\text{und}\quad c \leq d \quad \Rightarrow \quad a+c < b+d - Tranzitivita nerovnic:
Platí-li a>b\quad\text{a}\quad b>c, potom musí platit a>c
U ostatních známenek je to podobné. - Antisymetrie nerovnic:
Platí-li a\leq b\quad\text{a}\quad b\leq a, potom musí platit a=b
Jak postupovat při násobení nebo dělení nerovnic neznámou?
V předešlých odstavcích jsme si ukázali, jak můžeme upravovat nerovnici. Mimojiné jsme viděli, že můžeme násobit a dělit libovolným číslem. Přitom si musíme dát pozor na násobení a dělení záporným číslem, při kterém obracíme znaménko. Co se ale stane, když potřebujeme nerovnici vydělit nebo vynásobit neznámou (nebo výrazem s neznámou)?
Abychom si tuto situaci lépe představili, pojďme si vyřešit jeden konkrétní příklad:
\frac{1}{x}\geq1Potřebujeme se tedy zbavit neznámé x ve jmenovateli a tedy jí vynásobit. Problém ale je, že nevíme, jestli naše neznámá je kladná nebo záporná a tudíž nevíme, co musíme udělat se znaménkem. Nerovnici budeme tedy řešit na dvakrát:
Když neznámáx je kladné číslo, řešení nerovnice bude vypadat následovně:
\frac{1}{x}\geq1\quad|\cdot x
1\geq x
K_1=(0;1\rangle
Pozor! V nerovnici nám vyšla všechna čísla menší nebo rovna 1. My jsme ale počítali jenom s kladnými x.
Když neznámáx je záporné číslo, řešení nerovnice bude vypadat následovně:
\frac{1}{x}\geq1\quad|\cdot x
1\leq x
K_2=\emptyset
Pozor! V nerovnici nám vyšla všechna čísla větší nebo rovna 1. My jsme ale počítali jenom se zápornými x. Proto výsledkem v této části je prázdná množina.
Řešení nerovnice je tedy K=K_1\cup K_2=(0;1\rangle\cup \emptyset=(0;1\rangle
Zápis řešení – intervaly
Když řešíme rovnice, výjdou nám často jednotlivá čísla jako řešení. U nerovnic tomu tak ale většinou nebývá. U řešení nerovnic se setkáváme s tím, že neznámá je menší nebo větší než něco. Například v poslední nerovnici nám vyšlo, že x je větší než nula a menší nebo rovno jedné. Zde jsme se také setkali se zápisem tohoto řešení. Tomu zápisu říkáme interval a rozlišujeme čtyři základní druhy:
Typ intervalu | Zápis pomocí nerovnice | Zápis pomocí intervalu | Jak to čteme |
---|---|---|---|
Otevřený interval | a < x < b | (a;b) | x je od a do b a oba krajní body do intervalu nepatří |
Polootevřený interval | a < x ≤ b | (a;b\rangle | x je od a (které tam nepatří) do b (které tam patří) |
Polouzavřený interval | a ≤ x < b | \langle a;b) | x je od a (které tam patří) do b (které tam nepatří) |
Uzavřený interval | a ≤ x ≤ b | \langle a;b\rangle | x je od a do b, kde oba krajní body do intervalu patří |
Grafické znázornění intervalů
Velice výhodné je si zakreslovat intervaly na číselnou osu. Pro pochopení grafického znázornění intervalu nám postačí zakreslit jeden typ. Chceš-li se dozvědět více o intervalech a počítání s nimi, přejdi na náš článek o intervalech.
Jak tedy můžeme zakreslit naše řešení s poslední nerovnice K=(0;1\rangle?

Jak jste si na obrázku jistě všimli u nuly máme prázdné kolečko. To znamená, že tento hraniční bod (v našem příkladě 0) danému intervalu nenáleží. Na druhou stranu plné kolečko u jedničky znamená, že x může být i rovna jedné (1 náleží danému intervalu).
Různé typy nerovnic
Počítání nerovnic si můžete procvičit v dalších článcích, kde probíráme specifické typy nerovnice a samozřejmě v našem online kurzu!
Typ nerovnice | Příklad |
Lineární nerovnice (s jednou neznámou) | 2x+3<4x-7 |
Soustavy lineárních nerovnic (s jednou neznámou) | 3x-5<72x+2>3 |
Lineární nerovnice (s dvěma neznámými) | 5x-4y>12 |
Soustavy lineárních nerovnic (s dvěma neznámými) | 2x+y<73x-2\>5 |
Kvadratické nerovnice | x^2-5x+6>0 |
Nerovnice v podílovém tvaru | \frac{1}{x-2}>7 |
Nerovnice s absolutní hodnotou | |x-2|>4 |
Další materiály
Úvod do nerovnic najdeš v kurzu o
lineárních rovnicích a nerovnicích