ROV01-02 – Co jsou to nerovnice?

Tento článek slouží jako krátký úvod do světa nerovnic. Zde se dozvíš, co jsou to nerovnice, jak je můžeme řešit a jaké typy nerovnic známe.

Před tím než si vysvětlíme, co jsou to nerovnice, je dobré si zopakovat, co jsou to rovnice. V předešlých článcích jsme si řekli, že rovnice popisují rovnost dvou výrazů:

• 5=5
• (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
• x^3-27=37

Nerovnice podobně jako rovnice porovnávají dva výrazy. Místo rovnítka však v nerovnicích používáme operátory nerovnosti:

Typ nerovnosti	Jak to čteme	Příklady
výraz 1 < výraz 2	výraz 1 je menší než výraz 2	3 < 4 3 + x < 4
výraz 1 ≤ výraz 2	výraz 1 je menší nebo rovný výrazu 2	3 ≤ 4 4 ≤ 4 3 + x ≤ 4
výraz 1 > výraz 2	výraz 1 je větší než výraz 2	4 > 3 3 + x > 4
výraz 1 ≥ výraz 2	výraz 1 je větší nebo rovný výrazu 2	4 ≥ 3 4 ≥ 4 3 + x ≥ 4

Jak řešit nerovnice

Cílem nerovnic je najít, pro kterou neznámou x daná nerovnice platí. V kontrastu s rovnicemi nám u nerovnic hodně často výjde interval jako řešení. Stejně jako u rovnic se i u nerovnic snažíme osamostatnit x: To znamená, že všechno, kde se vyskytuje neznámá x, přesouváme na jednu stranu a vše ostatní na stranu druhou. Při tom přesouvání používáme stejné úpravy jako u rovnic. Jak nám následující odstavce ukážou, musíme zde být trochu opatrnější. Jaké úpravy jsou tedy u nerovnic povoleny?

Úpravy nerovnic

Úpravy, které při řešení nerovnic používáme, musí splňovat dvě podmínky:

• Strana, která je menší před úpravou, musí být menší i po úpravě.
• Strana, která je větší před úpravou, musí být větší i po úpravě.

Úpravy tedy nesmí změnit ani rovnost ani nerovnost dvou čísel. Pojďme se nyní podívat na některé z těchto úprav:

• Na obou dvou stranách můžeme příčíst libovolné reálné číslo
  a \leq b \quad\Rightarrow \quad a+c \leq b+c
  Následující příklad nám ukáže, že nerovnost dvou čísel bude i po úpravě zachovaná:
  7<11\quad|+10  
  7+10<11+10         
  17<21
  Poznámka: Přičítání neznámou nebo výrazu s neznámou je také povolená úprava (např. +4x)!
• Odečtení libovolného čísla na obou dvou stranách rovnice
  a \leq b\quad \Rightarrow \quad a-c \leq b-c
  4<12\quad|-20
  4-20<12-20
  -16<-8
  Poznámka: Odečítání neznámé nebo výrazu s neznámou je povolená úprava (např. -(2x-5)!
• Násobení nerovnice číslem
  
  3<7\quad|×2
  3×2<7×2
  6<14
  3<7\quad|×(-2) 
  3×(-2)<7×(-2)
  -6<-14 Toto není pravda
  
  Pravá nerovnost neplatí. Má být totiž obráceně. Pokud násobíme rovnice záporným číslem, musíme obracet znaménko!
• Dělení nerovnice číslem
  
  4<8\quad|÷2
  4÷2<8÷2
  2<4
  4<8\quad|÷(-2) 
  4÷(-2)<8÷(-2)
  -2<-4 Toto není pravda
  
  Pravá nerovnost neplatí, má být totiž obráceně. Pokud dělíme rovnice záporným číslem, musíme obracet znaménko!

Další operace k úpravě nerovnic

• Nerovnici můžeme číst z obou dvou stran (a je menší než b nebo b je větší než a)
  a < b \quad \longleftrightarrow \quad b > a
• Nerovnice, které jsou stejně orientovány, můžeme k sobě sečíst.
  a \leq b \quad\text{und}\quad c \leq d \quad \Rightarrow \quad a+c \leq b+d
  a < b \quad\text{und}\quad c \leq d \quad \Rightarrow \quad a+c < b+d
• Tranzitivita nerovnic:
  Platí-li a>b\quad\text{a}\quad b>c, potom musí platit a>c
  U ostatních známenek je to podobné.

• Antisymetrie nerovnic:
  Platí-li a\leq b\quad\text{a}\quad b\leq a, potom musí platit a=b

V předešlých odstavcích jsme si ukázali, jak můžeme upravovat nerovnici. Mimojiné jsme viděli, že můžeme násobit a dělit libovolným číslem. Přitom si musíme dát pozor na násobení a dělení záporným číslem, při kterém obracíme znaménko. Co se ale stane, když potřebujeme nerovnici vydělit nebo vynásobit neznámou (nebo výrazem s neznámou)?

Abychom si tuto situaci lépe představili, pojďme si vyřešit jeden konkrétní příklad:

\frac{1}{x}\geq1

Potřebujeme se tedy zbavit neznámé x ve jmenovateli a tedy jí vynásobit. Problém ale je, že nevíme, jestli naše neznámá je kladná nebo záporná a tudíž nevíme, co musíme udělat se znaménkem. Nerovnici budeme tedy řešit na dvakrát:

Řešení nerovnice je tedy K=K_1\cup K_2=(0;1\rangle\cup \emptyset=(0;1\rangle

Když řešíme rovnice, výjdou nám často jednotlivá čísla jako řešení. U nerovnic tomu tak ale většinou nebývá. U řešení nerovnic se setkáváme s tím, že neznámá je menší nebo větší než něco. Například v poslední nerovnici nám vyšlo, že x je větší než nula a menší nebo rovno jedné. Zde jsme se také setkali se zápisem tohoto řešení. Tomu zápisu říkáme interval a rozlišujeme čtyři základní druhy:

Typ intervalu	Zápis pomocí nerovnice	Zápis pomocí intervalu	Jak to čteme
Otevřený interval	a < x < b	(a;b)	x je od a do b a oba krajní body do intervalu nepatří
Polootevřený interval	a < x ≤ b	(a;b\rangle	x je od a (které tam nepatří) do b (které tam patří)
Polouzavřený interval	a ≤ x < b	\langle a;b)	x je od a (které tam patří) do b (které tam nepatří)
Uzavřený interval	a ≤ x ≤ b	\langle a;b\rangle	x je od a do b, kde oba krajní body do intervalu patří

Grafické znázornění intervalů

Velice výhodné je si zakreslovat intervaly na číselnou osu. Pro pochopení grafického znázornění intervalu nám postačí zakreslit jeden typ. Chceš-li se dozvědět více o intervalech a počítání s nimi, přejdi na náš článek o intervalech.

Jak tedy můžeme zakreslit naše řešení s poslední nerovnice K=(0;1\rangle?

Jak jste si na obrázku jistě všimli u nuly máme prázdné kolečko. To znamená, že tento hraniční bod (v našem příkladě 0) danému intervalu nenáleží. Na druhou stranu plné kolečko u jedničky znamená, že x může být i rovna jedné (1 náleží danému intervalu).

Různé typy nerovnic

Počítání nerovnic si můžete procvičit v dalších článcích, kde probíráme specifické typy nerovnice a samozřejmě v našem online kurzu!

Typ nerovnice	Příklad
Lineární nerovnice (s jednou neznámou)	2x+3<4x-7
Soustavy lineárních nerovnic (s jednou neznámou)	3x-5<7 2x+2>3
Lineární nerovnice (s dvěma neznámými)	5x-4y>12
Soustavy lineárních nerovnic (s dvěma neznámými)	2x+y<7 3x-2\>5
Kvadratické nerovnice	x^2-5x+6>0
Nerovnice v podílovém tvaru	\frac{1}{x-2}>7
Nerovnice s absolutní hodnotou	|x-2|>4