ROV01-02 – Co jsou to nerovnice?

Tento článek slouží jako krátký úvod do světa nerovnic. Zde se dozvíš, co jsou to nerovnice, jak je můžeme řešit a jaké typy nerovnic známe.

Další materiály

Úvod do nerovnic najdeš v kurzu o
lineárních rovnicích a nerovnicích

Kompletní kurz

Před tím než si vysvětlíme, co jsou to nerovnice, je dobré si zopakovat, co jsou to rovnice. V předešlých článcích jsme si řekli, že rovnice popisují rovnost dvou výrazů:

  • 5=5
  • (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
  • x^3-27=37

Úvod do nerovnic?

VIDEO

Nerovnice podobně jako rovnice porovnávají dva výrazy. Místo rovnítka však v nerovnicích používáme operátory nerovnosti:

Typ nerovnostiJak to čtemePříklady
výraz 1 < výraz 2výraz 1 je menší než výraz 23 < 4
3 + x < 4
výraz 1 výraz 2výraz 1 je menší nebo rovný výrazu 23 ≤ 4
4 ≤ 4
3 + x ≤ 4
výraz 1 > výraz 2výraz 1 je větší než výraz 24 > 3
3 + x > 4
výraz 1 výraz 2výraz 1 je větší nebo rovný výrazu 24 ≥ 3
4 ≥ 4
3 + x ≥ 4

Jak řešit nerovnice

Cílem nerovnic je najít, pro kterou neznámou x daná nerovnice platí. V kontrastu s rovnicemi nám u nerovnic hodně často výjde interval jako řešení. Stejně jako u rovnic se i u nerovnic snažíme osamostatnit x: To znamená, že všechno, kde se vyskytuje neznámá x, přesouváme na jednu stranu a vše ostatní na stranu druhou. Při tom přesouvání používáme stejné úpravy jako u rovnic. Jak nám následující odstavce ukážou, musíme zde být trochu opatrnější. Jaké úpravy jsou tedy u nerovnic povoleny?

Úpravy nerovnic

Úpravy, které při řešení nerovnic používáme, musí splňovat dvě podmínky:

  • Strana, která je menší před úpravou, musí být menší i po úpravě.
  • Strana, která je větší před úpravou, musí být větší i po úpravě.

Úpravy tedy nesmí změnit ani rovnost ani nerovnost dvou čísel. Pojďme se nyní podívat na některé z těchto úprav:

  • Na obou dvou stranách můžeme příčíst libovolné reálné číslo
    a \leq b \quad\Rightarrow \quad a+c \leq b+c
    Následující příklad nám ukáže, že nerovnost dvou čísel bude i po úpravě zachovaná:
    7<11\quad|+10  
    7+10<11+10         
    17<21
    Poznámka: Přičítání neznámou nebo výrazu s neznámou je také povolená úprava (např. +4x)!
  • Odečtení libovolného čísla na obou dvou stranách rovnice
    a \leq b\quad \Rightarrow \quad a-c \leq b-c
    4<12\quad|-20
    4-20<12-20
    -16<-8
    Poznámka: Odečítání neznámé nebo výrazu s neznámou je povolená úprava (např. -(2x-5)!
  • Násobení nerovnice číslem
    3<7\quad|×2
    3×2<7×2
    6<14
    3<7\quad|×(-2) 
    3×(-2)<7×(-2)
    -6<-14 Toto není pravda

    Pravá nerovnost neplatí. Má být totiž obráceně. Pokud násobíme rovnice záporným číslem, musíme obracet znaménko!
  • Dělení nerovnice číslem
    4<8\quad|÷2
    4÷2<8÷2
    2<4
    4<8\quad|÷(-2) 
    4÷(-2)<8÷(-2)
    -2<-4 Toto není pravda

    Pravá nerovnost neplatí, má být totiž obráceně. Pokud dělíme rovnice záporným číslem, musíme obracet znaménko!

Další operace k úpravě nerovnic

  • Nerovnici můžeme číst z obou dvou stran (a je menší než b nebo b je větší než a)
    a < b \quad \longleftrightarrow \quad b > a
  • Nerovnice, které jsou stejně orientovány, můžeme k sobě sečíst.
    a \leq b \quad\text{und}\quad c \leq d \quad \Rightarrow \quad a+c \leq b+d
    a < b \quad\text{und}\quad c \leq d \quad \Rightarrow \quad a+c < b+d
  • Tranzitivita nerovnic:
    Platí-li a>b\quad\text{a}\quad b>c, potom musí platit a>c
    U ostatních známenek je to podobné.

  • Antisymetrie nerovnic:
    Platí-li a\leq b\quad\text{a}\quad b\leq a, potom musí platit a=b

Jak postupovat při násobení nebo dělení nerovnic neznámou?

VIDEO

V předešlých odstavcích jsme si ukázali, jak můžeme upravovat nerovnici. Mimojiné jsme viděli, že můžeme násobit a dělit libovolným číslem. Přitom si musíme dát pozor na násobení a dělení záporným číslem, při kterém obracíme znaménko. Co se ale stane, když potřebujeme nerovnici vydělit nebo vynásobit neznámou (nebo výrazem s neznámou)?

Abychom si tuto situaci lépe představili, pojďme si vyřešit jeden konkrétní příklad:

\frac{1}{x}\geq1

Potřebujeme se tedy zbavit neznámé x ve jmenovateli a tedy jí vynásobit. Problém ale je, že nevíme, jestli naše neznámá je kladná nebo záporná a tudíž nevíme, co musíme udělat se znaménkem. Nerovnici budeme tedy řešit na dvakrát:

Když neznámá x je kladné číslo, řešení nerovnice bude vypadat následovně:

\frac{1}{x}\geq1\quad|\cdot x

1\geq x

K_1=(0;1\rangle

Pozor! V nerovnici nám vyšla všechna čísla menší nebo rovna 1. My jsme ale počítali jenom s kladnými x.

Když neznámá x je záporné číslo, řešení nerovnice bude vypadat následovně:

\frac{1}{x}\geq1\quad|\cdot x

1\leq x

K_2=\emptyset

Pozor! V nerovnici nám vyšla všechna čísla větší nebo rovna 1. My jsme ale počítali jenom se zápornými x. Proto výsledkem v této části je prázdná množina.

Řešení nerovnice je tedy K=K_1\cup K_2=(0;1\rangle\cup \emptyset=(0;1\rangle

Zápis řešení – intervaly

VIDEO

Když řešíme rovnice, výjdou nám často jednotlivá čísla jako řešení. U nerovnic tomu tak ale většinou nebývá. U řešení nerovnic se setkáváme s tím, že neznámá je menší nebo větší než něco. Například v poslední nerovnici nám vyšlo, že x je větší než nula a menší nebo rovno jedné. Zde jsme se také setkali se zápisem tohoto řešení. Tomu zápisu říkáme interval a rozlišujeme čtyři základní druhy:

Typ intervaluZápis pomocí nerovniceZápis pomocí intervaluJak to čteme
Otevřený intervala < x < b(a;b)x je od a do b a oba krajní body do intervalu nepatří
Polootevřený intervala < x ≤ b(a;b\ranglex je od a (které tam nepatří) do b (které tam patří)
Polouzavřený intervala ≤ x < b\langle a;b)x je od a (které tam patří) do b (které tam nepatří)
Uzavřený intervala ≤ x ≤ b\langle a;b\ranglex je od a do b, kde oba krajní body do intervalu patří

Grafické znázornění intervalů

Velice výhodné je si zakreslovat intervaly na číselnou osu. Pro pochopení grafického znázornění intervalu nám postačí zakreslit jeden typ. Chceš-li se dozvědět více o intervalech a počítání s nimi, přejdi na náš článek o intervalech.

Jak tedy můžeme zakreslit naše řešení s poslední nerovnice K=(0;1\rangle?

Polootevřený interval

Jak jste si na obrázku jistě všimli u nuly máme prázdné kolečko. To znamená, že tento hraniční bod (v našem příkladě 0) danému intervalu nenáleží. Na druhou stranu plné kolečko u jedničky znamená, že x může být i rovna jedné (1 náleží danému intervalu).

Různé typy nerovnic

Počítání nerovnic si můžete procvičit v dalších článcích, kde probíráme specifické typy nerovnice a samozřejmě v našem online kurzu!

Typ nerovnicePříklad
Lineární nerovnice (s jednou neznámou)2x+3<4x-7
Soustavy lineárních nerovnic (s jednou neznámou) 3x-5<7 2x+2>3
Lineární nerovnice (s dvěma neznámými) 5x-4y>12
Soustavy lineárních nerovnic (s dvěma neznámými) 2x+y<7 3x-2\>5
Kvadratické nerovnice x^2-5x+6>0
Nerovnice v podílovém tvaru \frac{1}{x-2}>7
Nerovnice s absolutní hodnotou |x-2|>4

Další materiály

Úvod do nerovnic najdeš v kurzu o
lineárních rovnicích a nerovnicích

Kompletní kurz

© Doktor Matika, 2018
X