ROV11-01 – Logaritmy

Se slovem logaritmus se většina z nás setkala nejspíše v prvním ročníku střední školy a od té doby je to pojem, který mnohé straší ve snech. Přitom k tomu není vůbec důvod! V tomto článku se dozvíš veškeré důležité informace k počítání s logaritmy a pravidla, podle kterých se takové výrazy dají upravovat.

Význam logaritmu

Než si začneme vysvětlovat technické detaily logaritmů, je potřeba nejdříve pochopit, k čemu se vlastně takový logaritmus dá použít a za jakým účelem si ho lidstvo vymyslelo.

Když se většiny lidí zeptáme na operaci opačnou k umocňování, většina z nich vyhrkne… odmocňování. A mají pravdu, i když svým způsobem je opačnou operací k mocnině i právě logaritmus – jde o to, kde se zrovna nachází hledaná neznámá.

Představte si třeba hádanku:

Kolikrát musíme číslo 3 vynásobit samo sebou, aby nám vyšel součin 27?

Na takovouto otázku umíme z hlavy odpovědět, že třikrát, protože buď známe několik prvních mocnin trojky, nebo to budeme zkoušet tak dlouho, dokud nám požadované číslo nevyjde. Pokud bychom ale chtěli problém řešit matematicky, můžeme jej zapsat právě pomocí logaritmů:

\log_3 27=x

Tímto zápisem jsme vlastně obešli o něco intuitivnější zápis 3^x = 7, tedy exponenciální rovnici. Přesněji řečeno, našli jsme rovnici k ní inverzní. Výhoda logaritmu oproti exponenciální rovnici tkví zejména v tom, že proměnnou dostaneme z pozice exponentu na jednu ze stran rovnice jako běžný člen.

Zápis \log_a b v podstatě znamená: „Na kolikátou musíme umocnit číslo a (základ), abychom dostali číslo b?“ Matematici pak tento zápis čtou: logaritmus b o základu a.

Pravidla pro počítání s logaritmy

Stejně jako u jiných operací, i v logaritmech najdeme pravidla, podle kterých s nimi můžeme počítat a upravovat je. Z těch základních sem patří zejména:

\log_a (b\cdot c) =\log_a b +\log_a c

…logaritmus součinu je roven součtu logaritmů činitelů o původním základu.

\log_a (\frac{b}{c}) =\log_a b -\log_a c

…logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele o původním základu.

\log_a (b^c) = c \log_a b

…známou mocninu logaritmovaného výrazu můžeme „vytknout“ před logaritmus.

\log_a b =\frac{\log_c b}{\log_c a}

…logaritmus b o základu a lze zapsat také jako podíl logaritmu argumentu a základu (o stejných základech).

Zejména poslední zmíněný vzorec lze často použít pro vyčíslení logaritmu o libovolném základu například na kalkulačce, která podporuje pouze logaritmus dekadický (základ 10) a přirozený (základ e).

Praktické použití logaritmu

Řekněme, že chceme vyřešit hádanku:

Kolikrát musíme číslo 4 vynásobit samo sebou, aby vyšel součin 8?

Bohužel, tentokrát to nejde tak jednoduše jako poprvé – číslo osm nikde v mocninách čtyřky nefiguruje, což můžeme ověřit i postupným násobením. Nejnižší další mocninou je už 16.

Pojďme se tedy na příklad podívat okem znalce logaritmů. Zapíšeme si tedy logaritmus z osmi o základu 4 a začneme upravovat:

\log_4 8

První si například všimneme, že osm je vlastně dva krát čtyři. Přepíšeme tedy tímto způsobem i argument našeho logaritmu:

\log_4 (2\cdot4)

Nyní již můžeme použít vzorec pro úpravu logaritmu podílu:

\log_4 2 + \log_4 4

Druhý sčítanec již můžeme zbavit logaritmu – vyčíslíme ho jako jedničku (pouze čtyři na prvou je znovu čtyři).

\log_4 2 + 1

Nyní již stačí zbavit se zbývajícího logaritmu – zkusíme jej přepsat ve tvaru podílu logaritmů o základu 2:

\frac{\log_2 2}{\log_2 4} + 1

I vzniklý zlomek již teď můžeme vyčíslit – v čitateli zbude číslo 1 (pouze dva na prvou je dva) a ve jmenovateli číslo 2 (dva na druhou jsou čtyři)

\frac{1}{2} + 1

1.5

Hledaný výsledek je 1.5. Dozvěděli jsme se tedy, že platí  4^{1.5} = 8.

© Doktor Matika, 2018
X