ROV08-01 – Kvadratické rovnice

Další materiály

Kompletní kurz

Co jsou kvadratické rovnice?

VIDEO

Kvadratické rovnice jsou v matematice rovnice druhého stupně, tedy takové rovnice, kde je proměnná x ve druhé mocnině (je umocněna na druhou). Zápis takovýchto rovnic vypadá následovně:

ax^2 + bx + c = 0

Písmenkům a, b, c se odborně říká koeficienty a ve většině běžných kvadratických rovnic místo nich najdeme nějaká reálná čísla – jedinou podmínkou při dosazování čísel do koeficientů kvadratické rovnice je, abychom za a nedosadili 0 -> x² by zmizelo (násobili bychom ho 0) a rovnice by najednou nebyla kvadratická.

Pojmenování však mají i jednotlivé členy kvadratické rovnice, říká se jim podle mocniny x následovně: ax^2 je kvadratický člen, bx je lineární člen c je absolutní člen.

Jak řešit kvadratickou rovnici?

VIDEO

Vzpomínáte, jak jsme lineární rovnici řešili pomocí ekvivalentních úprav? Při řešení kvadratické rovnice je užijeme také, ale k něčemu trochu jinému. Abychom totiž mohli kvadratickou rovnici obecně řešit, potřebujeme ji k tomu mít v takzvaném anulovaném tvaru. To znamená, že všechny členy rovnice přeházíme na jednu stranu od rovnítka tak, aby nám na druhé straně zbyla pouze nula.

A co potom?

Nejběžnější metodou řešení kvadratické rovnice (v anulovaném tvaru) je metoda výpočtu přes takzvaný diskriminant.

Diskriminant!?

Cizím slovem diskriminant označujeme mnohočlen, který využíváme při obecném řešení tzv. polynomických rovnic.

Jeho tvar pro kvadratickou rovnici pak vypadá následovně:

\mathbb{D} = b^2 - 4ac

Nepřipomínají vám tahle písmenka něco? Ano, přesně tak! Při výpočtu diskriminantu kvadratické rovnice do tohoto vzorce dosazujeme koeficienty kvadratického, lineárního a absolutního členu.

Diskriminant pro rovnici například x^2 + 3x + 2 = 0 tak bude 3^2 - 4*1*2, tedy 9 - 8, takže 1.

Své zvláštní jméno si diskriminant vysloužil díky své vlastnosti rozlišovat počet kořenů (řešení) kvadratické rovnice – můžeme si tedy představit, že některá řešení „diskriminuje“ a jiná ne.

Dobře, diskriminant máme spočítaný. Jak ale pomocí něj přijdeme na ono hledané řešení naší rovnice?

Více správných řešení?!

Problém je v tom, že kvadratické rovnice mohou mít (právě podle hodnoty diskriminantu) až dvě řešení (a pokud se ptáte, jestli to má něco společného s tím, že je zde x ve druhé mocnině, tak ano). Vzorec pro výpočet těchto řešení pak vypadá následovně:

{x_{1,2} = \frac{{ - b \pm \sqrt {\mathbb{D}} }}{{2a}}}

(Jenom malá vsuvka na vysvětlenou pro méně zkušené matematiky – dva kořeny zde vyjdou kvůli tomu zvláštnímu znaménku \pm – říká se mu „plus minus“ a znamená, že první kořen počítáme, jako by zde bylo znaménko + a druhý, jako bychom namísto \pm psali -.)

Všimli jste si v čitateli zlomku toho velkého D pod odmocninou? Přesně sem totiž dosadíme náš diskriminant, který jsme vypočetli před chvílí a zvídavější čtenáři už určitě vědí, co tu bude za problém.

Diskriminant diskriminuje.

Pokud si stále pamatujete něco z hodin o odmocninách, jistě víte, že v oboru reálných čísel máme dovoleno odmocňovat pouze nezáporná čísla, tedy jenom čísla kladná a nulu. Co by se tedy ale stalo, kdyby byl náš diskriminant záporné číslo? Vyjít v záporných číslech přeci může, stačí aby platilo, že b^2<4ac.

Žádné řešení: \mathbb{D} < 0

Správnou odpovědí je, že pokud je diskriminant záporný, kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel žádná řešení (kořeny). Jak již jsme zmínili, museli bychom odmocňovat záporné číslo, což v množině reálných čísel prostě a jednoduše nejde.

Jedno řešení: \mathbb{D} = 0

Úplně jiná situace však nastává, když vyjde diskriminant rovný nule – pojďme si to zkusit spočítat.

Řekněme, že dostaneme kvadratickou rovnici ve tvaru x^2-2x+1=0. Diskriminant spočítáme zpaměti jako 2^2-4*1*1=0. Vyšel 0, to máme ale štěstí. Když ho totiž teď zkusíme dosadit do vzorce pro výpočet kořenů, vyjde nám postupně:

x_1 = \frac{-2+\sqrt{0}}{2} = \frac{-2}{2} = -1
x_2 = \frac{-2-\sqrt{0}}{2} = \frac{-2}{2} = -1

Všimli jste si toho? Když v rovnici vychází diskriminant rovný nule, oba kořeny vyjdou stejně – v matematické hantýrce se říká, že jsme dostali „jeden dvojnásobný kořen„. Proč se tak stalo, je všem asi úplně zřejmé – jednotlivé kořeny se od sebe liší pouze znaménkem před diskriminantem a v případě nuly je úplně jedno, zda jí přičítáme, či odečítáme – vždy se konečný součet (či rozdíl) nijak nezmění.

Dvě řešení: \mathbb{D} > 0

Při běžném počítání se nám však nejčastěji stane, že vychází diskriminant jako kladné reálné číslo – třeba jako o pár řádků výše, když jsme počítali diskriminant rovnice x^2 + 3x + 2 = 0, který vyšel 1. Kdybychom tedy chtěli získat kořeny této rovnice, není nic jednoduššího, než diskriminant znovu dosadit do vzorce pro výpočet kořenů:

\frac{-3+\sqrt{1}}{2} =\frac{-2}{2} = -1
\frac{-3-\sqrt{1}}{2} =\frac{-4}{2} = -2

Protože nebyl diskriminant nulový, vyšly nám dva různé kořeny a tudíž má rovnice i dvě různá řešení – pokud bychom udělali zkoušku, vyšla by s oběma čísly.

Typy kvadratických rovnic

Kromě řešení pomocí diskriminantu existují i jiné metody, jak vyřešit kvadratické rovnice. Tyto metody úzce souvisí s typem rovnice.

Ryze kvadratická rovnice (b=0)

VIDEO

Ryze kvadratická rovnice je rovnice, v které chybí lineární člen. Můžeme ji tedy obecně zapsat následovně:

ax^2+c=0

Ikdyž takovéto kvadratické rovnice můžeme řešit pomocí diskriminantu, tak zde existuje ještě jeden rychlejší způsob řešení. Nejrychlejší způsob řešení je osamostatnit x^2. V horní rovnici tedy musíme nejdříve od obou stran rovnice odečíst a potom vydělit a.

ax^2=-c              | ÷a

x^2=-\frac{c}{a}

V posledním kroku zbývá už jen odmocnit a dostaneme tedy dva kořeny pro x:

x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}

Pojďme se nyní podívat na jeden konkrétní příklad, který nám ještě lépe znázorní, jak se řeší ryze kvadratické rovnice. Abychom měli srovnání, tak tuto rovnici budeme řešit jak touto novou metodou tak i přes diskriminant. Naše kvadratická rovnice zní: 4x^2-100=0:

Řešení bez diskriminantu:

4x^2-100=0           |+100

4x^2=100           |÷4

x^2=25           |√

x=\pm\sqrt{25}

x=\pm5

Tato rovnice má tedy dvě řešení a to -5 a 5.

Řešení přes diskriminant:

\mathbb{D}=0^2-4\cdot4\cdot(-100)=1600

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\mathbb{D}}}{2a}

x_{1,2}=\frac{0\pm\sqrt{1600}}{2\cdot4}

x=\frac{\pm40}{8}

x=\pm5

Tato rovnice má tedy dvě řešení a to -5 a 5.

Jak jde tedy vidět, oba dva způsoby řešení je možné použít. Ikdyž první způsob bývá většinou rychlejší, je jen na vás, pro který způsob se rozhodnete.

Kvadratická rovnice bez absolutního členu (c=0)

VIDEO

Kvadratická rovnice bez absolutního členu je rovnice, v které chybí absolutní člen. Někdy se jí také říká neúplná kvadratická rovnice. Můžeme ji tedy obecně zapsat následovně:

ax^2+bx=0

Stejně jako nahoře se tato rovnice dá řešit pomocí diskriminantu. Ale i zde najdeme jedno rychlejší řešení. Na levé straně rovnice můžeme vytknout x a díko tomu tam dostaneme součin:

x(ax+b)=0

Nyní zde máme rovnici v součinovém tvaru. My víme, že součin se rovná nule, když aspoň jeden činitel se rovná nule. To znamená, že x=0 nebo ax+b=0. S první rovnicí už nemusíme nic dělat (prní kořen rovnice je tedy nula). V druhé rovnici musíme najít takové x, které danou rovnost splňuje:

ax+b=0              |-b

ax=-b              |÷a

x=-\frac{b}{a}

Druhým kořenem rovnice je tedy zlomek -\frac{b}{a}. Pojďme se nyní podívat na jeden konkrétní příklad, který nám ještě lépe znázorní, jak se řeší rovnice bez absolutního členu. Stejně jako nahoře si i tuto rovnice vypočítame oběma metodami (s a bez diskriminantu). Naše kvadratická rovnice zní: 3x^2-2x=0:

Řešení bez diskriminantu:

3x^2-2x=0

x\cdot(3x-2)=0

Zde máme opět dvě podmínky: x=0 a 3x-2=0. Z první podmínky hned vidíme, že prním kořenem rovnice je x=0

3x-2=0           |+2

3x=2       |÷3

x=\frac{2}{3}

Tato rovnice má tedy dvě řešení a to 0 a \frac{2}{3}.

Řešení přes diskriminant:

\mathbb{D}=(-2)^2-4\cdot3\cdot0=4

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\mathbb{D}}}{2a}

x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4}}{2\cdot3}

x=\frac{2\pm2}{6}

x_1=0 a x_2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

Tato rovnice má tedy dvě řešení a to 0 a \frac{2}{3}.

Stejně jako u ryzé kvadratické rovnice se můžete rozhodnout buď pro ten či onen postup. V poslední části se podíváme na speciální typ úplných kvadratických rovnic, které můžeme řešit i jinak než pomocí diskriminantu.

Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

VIDEO

Nahoře jsme se dozvěděli, že základní tvar kvadratické rovnice vypadá následovně:

ax^2+bx+c

Tuto rovnici můžeme vydělit koeficientem a a dostaneme v takzvaném normovaném tvaru:

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2+px+q

Normovaný tvar znamená, že koeficient a je 1. V poslední rovnici jsme místo \frac{b}{a} napsali p a místo \frac{c}{a} jsme použili q.  Nahoře jsme se viděli, že když diskriminant je pozitivní (v naší rovnici tedy: p^2-4q>0), tak naše rovnice má dvě řešení x_1,x_2. To znamená, že když si do rovnice dosadíme místo x buď x1 nebo x2, tak dostaneme 0. Naší rovnici si můžeme napsat následovně:

(x-x_1)(x-x_2)=0

Tato rovnice totiž splňuje naši podmínku: Když místo x dosadím x1, tak dostaneme (x1-x1)(x1-x2)=0×(x1-x2)=0. To samé se stane, když místo x dosadíme x2(x2-x1)(x2-x2)=(x2-x1)×0=0. Když nyní naší rovnici roznásobíme dostaneme:

x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2=0

Z druhého a třetího členu vytkneme x a takto získanou rovnici porovnáme s naší původní rovnicí:

x^2+x{\color{blue}(-x_1-x_2)}+{\color{red}x_1x_2}=0 x^2+{\color{blue}p}x+{\color{red}q}=0

Porovnáme-li obě tyto rovnice, dostaneme Vietovy vzorce, které udavájí vztah mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice a tudíž je vedle diskriminantu také můžeme použít při řešení.

Vietovy vzorce: Pro kořeny x1, x2 kvadratické rovnice x2+px+q=0, kde p,q \in \mathbb{R},\text{ a }p^2-4q\geq0 platí:

  • p=\frac{b}{a}=-x_1-x_2
  • q=\frac{c}{a}=x_1\cdot x_2

Vietovy vzorce můžeme u řešení nějakých kvadratických rovnic použít a tak najít kořeny bez nějakého velkého počítání. Jak to tedy funguje?

Vietovy vzorce a kvadratické rovnice

Použití těchto vzorců nejlépe porozumíme, když si spočteme konkrétní příklad:
x^2-2x-8=0

Před tím než použijeme Vietovy vzorce, musí být naše kvadratická rovnice v normovaném tvaru. Jelikož naše rovnice v normovaném tvaru již je (a=1), můžeme se vrhnout hned na použítí těchto vzorců.

Všeobecněx_1+x_2=-{\color{blue}p}
x^2+{\color{blue}p}x+{\color{red}q}=0x_1\cdot x_2={\color{red}q}
Náš příkladx_1+x_2=-({\color{blue}-2})
x^2{\color{blue}-2}x{\color{red}-8}=0x_1\cdot x_2={\color{red}-8}

Význam první rovnice

x_1+x_2=-({\color{blue}-2})

Což znamená:

x_1+x_2=2

Sečteme-li tedy kořeny naší rovnice x1 a x2, dostaneme 2. Jak nám toto pomůže? Momenálně ještě ne, poněvadž takovýchto možností je nekonečně mnoho. Můžeme si vymyslet nekonečně mnoho dvojic čísel, jejichž sčítáním dostaneme 2. Pojďme se tedy podívat na druhou rovnici.

Význam druhé rovnice

x_1\cdot x_2=-({\color{red}-8})

Tato rovnice říká, že součin kořenů rovnice je -8. Tato informace nám pomůže už o trochu více, protože není tolik kombinací dvou čísel, jejichž součin je roven -8:

  • 1. kombinace: 1 × (-8)
  • 2. kombinace -1 × 8
  • 3. kombinace 2 × -4
  • 4. kombinace -2 × 4

Nyní už jenom zbýva vybrat takovou kombinace, která splňuje první rovnici.

  • 1. kombinace: 1 + (-8) = -7
  • 2. kombinace -1 + 8 = 7
  • 3. kombinace 2 + -4 = -2
  • 4. kombinace -2 + 4 = 2

4. kombinace splňuje první rovnice a proto kořeny této kvadratické rovnice jsou x1 = -2 a x2 = 4.

Vietovy vzorce trochu jinak

Vietovy vzorce můžeme použít i trochu jinak. Metoda, kterou si nyní ukážeme, spočívá v rozkladu na součin výrazu na levé straně kvadratické rovnice. Tato metoda mi příjde trochu intuitivnější. Stejně jako u přímého použítí Vietových vzorců i zde je nutné mít rovnici v normovaném tvaru:

x^2-2x-8=0

V prvním kroku si uděláme dvě závorky, do kterých vložíme x, protože x × x je x2, což je náš kvadratický člen:

(x\qquad)(x\qquad)=0

V dalším kroku hledáme čísla, která do té závorky ještě napsat. Tady využijeme stejný trik jako u přímého užíití Vietových vzorců. Hledáme taková čísla, která když spolu vynásobíme, dají dohromady -8 (to je kvůli roznásobování, které provádíme).

  • 1. kombinace: 1 × (-8)
  • 2. kombinace -1 × 8
  • 3. kombinace 2 × -4
  • 4. kombinace -2 × 4

Zároveň ten součet těch čísel musí být mínus 2. Když se podíváme na naše kombinace, snadno vidíme, že je to právě 3. kombinace, která naší podmínku splňuje a můžeme tedy napsat naší rovnici:

(x+2)(x-4)=0

To bude platit, když aspoň jedna ze závorek bude nula. To znamená:

(x+2)=0\Rightarrow x_1=-2 (x-4)=0\Rightarrow x_2=4

Jak si můžeme všimnout, dostali jsme stejné kořeny jak nahoře. Samozřejmě i zde můžeme volit metodu přes diskriminant a záleží opravdu jenom na vás, pro kterou metodu se rozhodnete. Chceš-li si kvadratické rovnice procvičit dále, podívej se na videa v našem online kurzu o kvadratických rovnicích. Své znalosti si můžeš prověřovat i v našich interaktivních testech.

Další materiály

Kompletní kurz

© Doktor Matika, 2018
X