POS03 – Geometrická posloupnost

V tomto článku se dozvíte vše podstatné o geometrické posloupnosti. Typickým příkladem takovéto posloupnosti je např. takováto řada (2, 4, 8, 16, 32, 64, …).

Co je to geometrická posloupnost?

Geometrická posloupnost je taková posloupnost, v níž je podíl dvou sousedních členů konstantní. Tomuto podílu říkáme kvocient a značíme jej q, q\in \mathbb{R}. Pro geometrickou posloupnost platí tedy:

\frac{a_{n+1}}{a_n}=q

Následující obrázek nám geometrickou posloupnost ještě lépe znázorní.

Na obrázku je dobře vidět, že k dalšímu členu posloupnosti se dostaneme tak, když předcházející vynásobíme kvocientem q, přičemž tento kvocient může být jak kladný tak i záporný.

Vlastnosti geometrické posloupnosti

Podle kvocientu poznáme, zda daná posloupnost je rostoucí nebo klesající a zda je konvergentní (k něčemu se přibližuje) či divergentní.

Když je absolutní hodnota kvocientu menší než jedna, bude celá posloupnost klesat k nule (přibližovat se k nule) a my ji nazýváme konvergentní. V opačném případě bude posloupnost spěchat k nekonečnu. Takováto posloupnost nazýváme divergentní. Když je kvocient větší jak jedna, tak geometrická posloupnost roste. Klesající posloupnost má kvocient mezi nulou a jedničkou. Následující tabulka nám tyto případy ještě lépe znázorní:

	Rostoucí a divergentní posloupnost (q > 1)	Klesající a konvergentní posloupnost (0 < q < 1)
Příklad	1, 2, 4, 8, 16, 32, ... q = 2	16, 8, 4, 2, 1, ... q = 1/2
Graf
Příklad	Divergentní posloupnost (|q| > 1)	Konvergentní posloupnost (|q| < 1)
Příklad	1, - 2, 4, - 8, 16, - 32, ... q = - 2	16, - 8, 4, - 2, 1, ... q = - 1/2
Graf

V tabulce si dále můžeme povšimnout podobnost mezi geometrickou posloupností a exponenciální funkcí. Pro kladný kvocient je tvar grafu geometrické posloupnosti podobný jako tvar grafu exponenciální funkce. Proto se v souvislosti s geometrickou posloupností někdy mluví o exponenciálním růstu.

Vzorce pro počítání s geometrickou posloupností

Geometrická posloupnost je jednoduchá posloupnost s konstantním rozdílem mezi jednotlivými členy posloupnosti. Nahoře už máme jeden vzorec pro počítání s touto posloupností (a_{n+1}=a_n\cdot q). Kromě tohoto vzorce, existují další vzorce, které nám usnadní řešení příkladů s geometrickou posloupností.

Vzorec pro n-tý člen

Obdobně jako u aritmetické posloupnosti si i zde můžeme všimnout, že mezi prvním a pátým členem jsou čtyři mezery. To znamená, že patý člen posloupnosti vypočteme, když první člen posloupnosti vynásobíme čtyřikrát. Z toho vyplývá, že n-tý člen geometrické posloupnosti vypočteme následovně:

a_n=a_1\cdot q^{n-1}

N-tý člen tedy vypočteme, když první člen vynásobíme kvocientem q na (n-1).

Příklady na užití vzorce pro n-tý člen

Příklad 1: Je dána geometrická posloupnost, jejíž první člen je mínus čtyři a kvocient je tři. Vypočítejte 6. člen této posloupnosti.

a_6=a_1\cdot q^5
a_6=-4\cdot 3^5= -972

Příklad 2: Je dána geometrická posloupnost, jejíž první člen je 6 a osmý člen je 768. Vypočtěte kvocient této posloupnosti.

a_n=a_1\cdot q^{n-1} \Rightarrow q^{n-1} = \frac{a_n}{a_1} \Rightarrow q=\sqrt[n-1]{\frac{a_n}{a_1}}
q=\sqrt[7]{\frac{768}{6}}=2

Jak vypočítat kvocient? Vzorec pro podíl r-tého a s-tého členu

V horním obrázku si také můžeme všimnout, že mezi 2. a 4. členem geometrické posloupnosti jsou přesně dva kvocienty. Obecně můžeme tedy psát:

\frac{a_r}{a_s}=q^{r-s}

Tento vzorec nám ukazuje, jak vypočítat např. 13. člen posloupnosti, když známe kvocient a např. 8. člen. 13. člen dostaneme, když 8. člen vynásobíme kvocientem na pátou.

Příklady na užití vzorce pro podíl r-tého a s-tého členu

Příklad 1: Je dána geometrická posloupnost, kde a_3=12\text{ a }a_6=324. Vypočítejte kvocient této posloupnosti.

\frac{a_6}{a_3}=q^{6-3}
q=\sqrt[3]{\frac{324}{12}}=\sqrt[3]{27}=3

Příklad 2: Je dána geometická posloupnost, jejíž 6. člen je 64krát větší než 3. člen a její 4. člen je 192. Vypočtěte první člen této posloupnosti.

\frac{a_6}{a_3}=q^3=64 \Rightarrow q=\sqrt[3]{64}=4
a_4=a_1\cdot q^{4-1} \Rightarrow a_1=\frac{a_4}{q^3}
a_1=\frac{192}{64}=3

O něco jednodušší řešení by bylo, kdyby jsme si všimli že mezi 1. a 4. členem je stejný počet kvocietnů jako mezi 3. a 6. členem posloupnosti. To znamená, že 4. člen musí být 64krát větší než 1. člen a proto 1. člen musí být 3.

Vzorec pro součet členů geometrické posloupnosti

Poslední vzorec, který se často objevuje v různých příkladech, je vzorec pro součet prvních několika členů geometrické posloupnosti. Tento vzorec je následovný:

S_n=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}

Ten první vzorec se spíše používá, když absolutní hodnota kvocientu je větší než jedna. S druhým vzorcem se setkáváme spíše v příkladech, kde absolutní hodnota kvocientu je menší než jedna.

Příklady na užití vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti

Příklad 1: Je dána geometrická posloupnost, kde a_1=12\text{ a }q=3. Vypočítejte součet prvních osmi členů této posloupnosti. Součet prvních osmi členů vypočteme:

S_8=a_1\cdot \frac{q^8-1}{q-1}=12\cdot \frac{3^8-1}{3-1}=39360

Příklad 2: Je dána geometrická posloupnost, kde součet prvních tří členů je 105 a první člen je 5. Urči kvocient této posloupnosti.

S_3=a_1\cdot \frac{q^3-1}{q-1} \Rightarrow S_3=a_1\cdot \frac{(q-1)(q^2+q+1)}{q-1} \Rightarrow 105=5\cdot (q^2+q+1)

Musíme tedy řešit následující kvadratickou rovnici

q^2+q-20=0
(q-4)\cdot (q+5)=0

Máme tedy dva možné koeficienty: q_1=4\text{ a }q_2=-5

Různé příklady

V této sekci najdeš typické příklady na počítání s aritmetickou posloupností.

Příklad 1: Mezi čísla 2 a 512 máme vložit tři kladná čísla tak, aby vznikla geometrická posloupnost. Jaká čísla musíme vložit?

Abychom zjistili, jaká čísla máme vložit do této řady, musíme znát kvocient vzniklé geometrické posloupnosti. K tomu nám pomůžou obě dvě daná čísla. Zatímco 1. člen vzniklé posloupnosti je 2, 5. člen se bude rovnat 512. Nyní už můžeme použít vzorec pro n-tý člen (zde 5. člen)

a_5=a_1\cdot q^4 \Rightarrow 512=2\cdot q^4
q^4=256
q=4

Kvocient nemůže být -4, protože bychom potom nevkládali jenom kladná čísla. Vzniklá posloupnost bude tedy vypadat následovně: 2, 8, 32, 128, 512. Dosazená čísla jsou proto 8, 32 a 128.

Příklad 2: Je dána geometrická posloupnost s a_1=256\text{ a }q=\frac{1}{4}. Kolikátý je největší člen této posloupnosti, který je menší jak \frac{1}{1000}?

Hledáme tedy n, které musí splňovat následující nerovnici:

a_n<\frac{1}{1000}, n\in \mathbb{N}
a_1\cdot q^{n-1}<\frac{1}{1000}
256\cdot (\frac{1}{4})^{n-1}<\frac{1}{1000}
(\frac{1}{4})^{n-1}<\frac{1}{256000}

Nyní můžeme jednu čtvrtinu tak dlouho umocňovat až dostaneme číslo menší než je na pravé straně. Tímto způsobem dojdeme k tomu že n-1=9. Nyní už stačí jenom příčíst jedničku a dostaneme, že hledaný člen je 10. členem posloupnosti.

Příklad 3: Poločas rozpadu rádia je 1622. To znamená, že za 1622 zbyde pouze polovina množství rádia. Kolik rádia zbyde z 2g rádia za 12976 let?

Před tím než začneme počítat, je dobré si načrtnout danou situaci:
Původní množství: 2g
Za 1622 let: 1g
Za 3244 let: 0.5 g
Za 4866 let: 0.25 g

Můžeme si tedy všimnout, že libovolný člen získáme když vynásobíme předešlý člen jednou polovinou. Jedná se zde tedy o geometrickou posloupnost. Když vydělíme 12976 číslem 1622 získáme kolikrát musíme násobit 2g jednou polovinou. Výslednou hmotnost vyjádříme tedy:

m=2\cdot (\frac{1}{2})^{\frac{12976}{1622}}=2\cdot (\frac{1}{2})^8=0.0078125\text{ g }=7,8125\text{ mg }

Za 12976 let zbyde z 2 g rádia 7,8125 mg.