POS02 – Aritmetická posloupnost

V tomto článku se dozvíte vše podstatné o aritmetické posloupnosti. Typickým příkladem aritmetické posloupnosti jsou např. všechna sudá čísla (2, 4, 6, 8, 10, 12, …).

Co je to aritmetická posloupnost?

Aritmetická posloupnost je taková posloupnost, v níž je rozdíl dvou sousedních členů konstantní. Tomuto rozdílu říkáme diference a značíme ji d, d\in \mathbb{R}. Pro aritmetickou posloupnost platí tedy:

a_{n+1}-a_n=d (rekurentní zadání posloupnosti)

Následující obrázek nám aritmetickou posloupnost ještě lépe znázorní.

Aritmetická posloupnost

Na obrázku je dobře vidět, že k dalšímu členu posloupnosti se dostaneme tak, když k předcházejícímu přičteme diferenci d, přičemž tato diference může být jak kladná, tak i záporná.

Vlastnosti aritmetické posloupnosti

Podle diference poznáme, zda je daná posloupnost rostoucí nebo klesající. Když je d pozitivní tak se hodnoty posloupnosti zvětšují. V takovémto případě mluvíme o rostoucí posloupnosti. Je-li diference záporná, tak se hodnoty posloupnosti zmenšují – posloupnost tedy klesá. Jak je zřejmé toto zvětšování / zmenšování pokračuje až do nekonečna (nikde se nezastaví). Při d = 0 je posloupnost konstantní. Následující tabulka nám to ještě lépe znázorní i s několika příklady:

Rostoucí posloupnost (d > 0)Klesající posloupnost (d < 0)
Příklad2, 4, 6, 8, 10, ...
Diference je v této posloupnosti 2.

Aritmetická posloupnost - rostoucí
11, 8, 5, 2, -1, -4, -7, ...
Diference je v této posloupnosti -3

Aritmetická posloupnost klesající
Jiné příklady-7, 3, 13, 23, 33, ...
d = 10
-7, -23, -39, -55
d = -16
21, 44, 67, 90, ...
d = 23
54, 41, 28, 15, 2
d = 13
16; 16,5; 17; 17,5; 18; ...
d = 0,5
5; 2,5; 0; -2,5
d = -2,5

Jak je z tabulky patrné, aritmetická posloupnost je podobná lineární funkci. Jednotlivé body aritmetické posloupnosti totiž leží na přímce stejně jak je to tomu i u lineárních funkcí. Libovolná aritmetická posloupnost by se dala tedy popsat jako:

y=ax+b, x\in \mathbb{N}

V tomto vzorci odpovídá hodnota funkce y hodnotě n-tého členu posloupnosti, x pak pořadí v posloupnosti a směrnice a diferenci aritmetické posloupnosti.

Vzorce pro počítání s aritmetickou posloupností

Aritmetická posloupnost je jednoduchá posloupnost s konstantním rozdílem mezi jednotlivými členy posloupnosti. My jsme si už napsali jeden vzorec pro počítání s touto posloupností (a_{n+1}=a_n+d). Kromě tohoto vzorce, existují další vzorce, které nám usnadní řešení příkladů s aritmetickou posloupností.

Vzorec pro n-tý člen

První obrázek nám znázorňuje, že patý člen aritmetické posloupnosti získáme tak, když k prvnímu členu přídáme čtyřikrát diferenci. Z tohoto vztahu je jednoduché odvotit vzorec, jak vypočítát n-tý člen aritmetické posloupnosti:

a_n=a_1+(n-1)\cdot d

N-tý člen tedy vypočteme, když k prvnímu členu přičteme (n-1)krát diferenci d.

Příklady na užití vzorce pro n-tý člen

Příklad 1: Je dána aritmetická posloupnost, jejíž první člen je mínus dvacet sedm a diference je třináct. Vypočítejte 22. člen této posloupnosti.

a_{22}=a_1+21\cdot d
a_{22}=-27+21\cdot 13= 246

Příklad 2: Je dána aritmetická posloupnost, jejíž první člen je -48 a patnáctý člen je 92. Vypočtěte diferenci této posloupnosti.

a_n=a_1+(n-1)\cdot d \Rightarrow (n-1)\cdot d = a_n - a_1 \Rightarrow d=\frac{a_n-a_1}{n-1}
d=\frac{92-(-48)}{14}=10

Jak vypočítat diferenci? Vzorec pro rozdíl r-tého a s-tého členu

V horním obrázku si také můžeme všimnout, že mezi 2. a 4. členem aritmetické posloupnosti jsou přesně dvě diference. Obecně můžeme tedy psát:

a_r-a_s=(r-s)\cdot d

Tento vzorec nám prozrazuje, že když známe např. 7. člen aritmetické posloupnosti a její diferenci, tak 23. člen této posloupnosti vypočteme tak, že k sedmému členu přičteme 16krát diferenci.

Příklady na užití vzorce pro rozdíl r-tého a s-tého členu

Příklad 1: Je dána aritmetická posloupnost, kde a_3=12\text{ a }a_8=32. Vypočítejte diferenci této posloupnosti.

a_8-a_3=(8-3)\cdot d
d=\frac{32-12}{5}=4

Příklad 2: Je dána aritmetická posloupnost, jejíž 6. člen je 39 a 8. člen je o 24 větší než její 4. člen. Vypočtěte první člen této posloupnosti.

a_8-a_4=(8-4)\cdot d=24 \Rightarrow d = 24 \div 4 = 6
a_6=a_1+(6-1)\cdot d \Rightarrow a_1=a_6-5\cdot d
a_1=39-5\cdot 6=9

Vzorec pro součet členů aritmetické posloupnosti

Poslední vzorec, který je vhodný znát, je vzorec pro součet prvních několika členů posloupnosti. Tento vzorec si můžeme odvodit následovně. Dejme tomu, že chceme vypočítát součet prvních pěti lichých čísel 1, 3, 5, 7 a 9. Samozřejmě, že to můžeme rovnou sečíst a dostat výsledek.

Pro lepší pochopení vzorce pro součet členů v aritmetické posloupnosti, upravíme horní členy tak, že k 1 přičteme 4, které odečteme u 9 a k 3 přičteme 2, které odečteme u 7. Dostaneme tak (1+4), (3+2), 5, (7-2) a (9-4), neboli 5, 5, 5, 5, 5. Součet této posloupnosti je tedy 5\cdot 5=25.

Kdybychom chtěli součet prvních čtyř členů, tak si ty členy upravíme následovně: (1+3), (3+1), (5-1), (7-3) což je 4, 4, 4, 4. Součet prvních čtyř členů je 4\cdot 4=16. V těchto příkladech si můžeme všimnout, že součet se vypočte tak, že počet členů posloupnosti násobíme prostředním členem (4 * 4 a 5 * 5). Prostřední člen vypočteme přitom jako průměr prvního a posledního členu a proto vzorec pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti vypadá takto

S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}

Příklady na užití vzorce pro součet členů aritmetické posloupnosti

Příklad 1: Je dána aritmetická posloupnost, kde a_1=12\text{ a }d=3. Vypočítejte součet prvních deseti členů této posloupnosti. Součet prvních deseti členů vypočteme:

S_{10}=10\cdot \frac{a_1+a_{10}}{2}

Potřebujeme tedy nejdříve vypočítat čemu se rovná 10. člen.

a_{10}=a_1+9d=12+9\cdot 3=39
S_10=10\cdot \frac{12+39}{2}=5\cdot 51=255

Příklad 2: Je dána aritmetická posloupnost, kde součet prvních pěti členů je 100 a první člen je 10. Urči diferenci této posloupnosti.

S_5=5\cdot \frac{a_1+a_5}{2} \Rightarrow 100=5\cdot \frac{10+a_5}{2}

Z tohoto vyplývá, že pátý člen je 30. Nyní využijeme vzorec pro n-tý člen, abychom vypočítali diferenci.

a_5=a_1+(5-1)\cdot d \Rightarrow d=\frac{a_5-a_1}{4}
d=\frac{30-10}{4}=5

Různé příklady

V této sekci najdeš typické příklady na počítání s aritmetickou posloupností.

Příklad 1: Je dána aritmetická posloupnost, jejíž první člen je 23 a sedmý člen je -19. Vypočtěte druhý člen této posloupnosti.

Co budeme tedy potřebovat, abychom mohli vypočítat a2? Druhý člen můžeme vypočítat podle vzorce a_2=a_1+d. Potřebujeme tedy zjistit diferenci a tu vypočteme pomocí vzorce pro n-tý člen (tady 7. člen):

d=\frac{a_7-a_1}{6}=\frac{-19-23}{6}=-7

Z toho vyplývá, že a_2=a_1+d=23+(-7)=16

Příklad 2: Je dána aritmetická posloupnost s a_1=10\text{ a }d=30. Kolikátý je nejmenší člen této posloupnosti, který je větší jak 500?

Hledáme tedy n, které musí splňovat následující nerovnici:

a_n>500, n\in \mathbb{N}
a_1+(n-1)\cdot d>500
10+(n-1)\cdot 30>500
n-1>\frac{490}{30} \Rightarrow n>\frac{490}{30}+1 \Rightarrow n>17\frac{1}{3}

Hledaný člen je tedy 18. člen dané aritmetické posloupnosti. Hodnota tohoto členu je 520.

Příklad 3: V zemském plášti se každých 100 m zvyšuje teplota o 3 °C. V hloubce 25 m je teplota 20 °C. Jaká je teplota v hloubce 525 m?

Všimněme si, že rozdíl mezi hloubkami je 500 m. To znamená, že musíme jít pětkrát 100 m, abychom se dostali do hloubky 525 m. To znamená, že teplotní rozdíl mezi danými hloubkami se vypočte 5\cdot 3=15.
To znamená, že v hloubce 525 m je teplota 20 °C + 15 °C = 35 °C.

© Doktor Matika, 2018
X