GEO01 – Bod, úsečka, přímka, polopřímka

Dnes si popíšeme základní pojmy z geometrie, které budeme v dalších kapitolách našeho kurzu bezpodmínečně potřebovat. Jsou jimi čtyři útvary, které můžeme popsat jak ve dvojrozměrném, tak trojrozměrném prostoru – bod, přímka, úsečka a polopřímka.

Bod

Bod je nejjednodušší geometrický útvar, který dokážeme popsat. Z této definice je tedy jasné, že již nejde dále dělit na menší útvary a všechny ostatní útvary se z nich skládají a můžeme je popisovat jako tzv. množiny bodů (toto bude v dalších geometrických kapitolách velice důležité). Bod si tedy můžeme představit jako takový geometrický atom.

Definujeme je pak pomocí tzv. souřadnic, které nám pomohou popsat polohu jednotlivých bodů v prostoru. Pokud používáme dvojrozměrnou soustavu souřadnic (například na papíře nebo tabuli, tedy v rovině), stačí nám dvě souřadnice – jak „vysoko“ (souřadnice y), a jak moc „vlevo či vpravo“ (souřadnice x) bod leží. Pokud bychom chtěli popsat polohu bodu ve trojrozměrném prostoru, musíme použít tři souřadnice – k souřadnicím x a y musíme přidat ještě souřadnici z, která přidává informaci o tom, jak moc „vpředu či vzadu“ se bod nachází.

Body nemají žádný rozměr, což je vcelku logické – pokud na papíře vyznačíme tužkou malý puntík, pomocí běžného pravítka nedokážeme změřit nějakou jeho délku nebo poloměr. Dva body se tedy od sebe mohou lišit jen polohou – pokud leží oba na tom stejném místě, říkáme o nich, že jsou shodné. Pokud leží na různých místech, jsou to body navzájem rozdílné.

Na tomto obrázku můžeme vidět tři body vyznačené v kartézské soustavě souřadnic – v hranatých závorkách jsou u nich připsané jejich souřadnice. (Ve zkratce např. [1;2] znamená, že bod leží o 1 jednotku vpravo a o 2 nahoru od počátku soustavy, [-1;-1] o jednu jednotku vlevo a 1 dolů atd.)

Přímka

Pokud bod neměl rozměr žádný, přímka má již rozměr jeden. Za takzvanou přímku označujeme libovolnou nekonečnou čáru, kterou proložíme dvěma body v rovině (či prostoru). I když by se mohlo zdát, že taková přímka vytvořená pomocí bodů bude někde začínat a někde končit (například v oněch bodech), není tomu tak. Přímka v Eukleidovské geometrii (tedy té, co se běžně používá) je nekonečně dlouhá.

V běžné praxi pak přímku zadáváme právě dvěma body, kterými přímka prochází; lze ji však popsat i jako průsečík dvou rovin (tzv. průsečnice), nebo v rovině jako graf lineární funkce, v analytické geometrii pak můžeme přímku zadat ještě (pouze v rovině) pomocí tzv. obecné rovnice přímky, nebo (a to i v prostoru) tzv. parametrickým vyjádřením.

Na obrázku můžeme vidět přímku procházející body A a B. Buďto jí můžeme pojmenovat jedním písmenem (většinou p, q, r – malé psací), nebo k jejímu popisu použijeme body – v tomto případě bychom popisovali přímku

Úsečka

Úsečka je vlastně taková ostříhaná přímka. Slovem úsečka totiž v matematice popisujeme čáru určenou znovu dvěma body, která ale není nekonečně dlouhá jako přímka, ale existuje právě pouze mezi těmito dvěma body.  analytické geometrii můžeme úsečku popsat pomocí již zmíněné parametrické rovnice přímky, jíž omezíme parametr, nebo jako graf lineární funkce, které omezíme definiční obor.

Jak můžeme vidět i z obrázku, úsečka je oproti přímce (o odstavec výše) omezena počátečním a koncovým bodem (zde A a B).

Polopřímka

Napůl úsečka, napůl přímka – i takto by se dala charakterizovat takzvaná polopřímka, která má tuto vlastnost již ve svém názvu. Pokud byla přímka ničím neomezená, nekonečná čára a úsečka konečná čára omezená z obou stran, polopřímka je takový hybrid mezi oběma útvary. Jedná se totiž o čáru, znovu určenou dvěma rozdílnými body, kterou však omezuje pouze právě jeden z těchto bodů. O polopřímce se tedy dá říct, že je jakousi přímkou, u níž známe počáteční bod (kterému se tak i oficiálně mezi matematiky říká).

© Doktor Matika, 2018
X