FUN02 – Lineární funkce

V tomto článku vám ukážu, co jsou lineární funkce. Většina lidí narazí na lineární funkci, když se poprvé seznamují s pojmem funkce.

Další materiály

Kompletní kurz

 

Definice: Lineární funkce f má následující tvar: y = ax + b, kde a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}, b \in \mathbb{R}. Grafem funkce je přímka.

Občas se můžete setkat s jiným obecným tvarem lineární funkce y = kx + q

Jak sestrojím graf lineární funkce?

VIDEO

Abychom pochopili, jak bude vypadat graf lineární funkce, je dobré si uvést pár příkladů. Z definice víme, že každá lineární funkce má tvar y=ax+b. Pojďme si tedy sestrojit grafy čtyř konkrétních funkcí.

  1. Funkce f: y=2x+2
  2. Funkce g: y=0x+2=2
  3. Funkce h: y=-2x+2
  4. Funkce i: y=-2x-2

Pomocí tabulky hodnot

Nejjednoduším způsobem, jak nakreslit graf jakékoliv funkce, je si udělat tabulku hodnot, kde si zvolíme různá x a dopočítáváme y. V následující tabulce vidíme všechny čtyři příklady najednou. Například, když x = 1, tak v první funkci vypočteme y jako 2*1 + 2 = 4 a v druhé jako y = 2. Zbývající body se dopočítají obdobně.

Hodnoty pro x-3-2-10123
1. y = f(x)-4-202468
2. y = g(x)2222222
3. y = h(x)86420-2-4
4. y = i(x)420-2-4-6-8

Graf funkce narýsujeme tak, že všechny body (uspořádané dvojice [x,y]) naneseme do kartézské soustavy souřadnic. V následujícím obrázku si můžeme prohlédnout grafy lineárnich funkcí sestrojené takovýmto způsobem.

Lineární funkce s různými konstantami

Pomocí dvou bodů

V obrázku můžeme vidět, že všechny ty grafy jsou rovné čáry, kterým v matematice říkáme přímky. To znamená, že pro sestrojení grafů lineárních funkcí nám budou stačit pouhé dva body a nemusíme si dělat celou tabulku. Na tomto místě vám poradím malý trik, které dva body si máte vybrat: Já si vždy hledám průsečíky s osami x a y. Tedy body, kde buď y = 0 nebo x = 0. Ukažme si to na příkladu funkce y = 2x + 2:

  • Nejdříve si dosadíme za y nulu a dostaneme: 0 = 2x + 2. Když tuto rovnici vyřeším, získám x = -1 a tudíž náš hledaný bod má souřadnice [-1;0]
  • Potom si dosadíme za x nulu a dostaneme: y = 2*0 + 2 a tedy y = 2. Náš hledaný bod má souřadnice [0;2]. Dole uvidíme, že tento průsečík je v předpisu lineární funkce dán koeficientem b

Dále si můžeme na obrázku všimnout, že některé přímky rostou, některé klesají a některé jsou konstantí. Zajímavé také je, že tři přímky se na ose y protnou v jednom bodě a jenom jedna protína osu y někde jinde. Jak poznat, zda lineární funkce roste či klesá a kde protíná osu y si vysvětlíme v dolních odstavcích.

Kromě těchto dvou možností můžeme narýsovat graf lineární funkce pomocí konstant a,b. Abychom plně pochopili tento postup je nutné si nejdříve vysvětlit význam konstant. Vysvětlení, jak narýsovat graf lineární funkce pomocí konstant naleznete zde.

Význam konstanty a v lineární funkci

VIDEO

Konstantě a lineární funkce se jinak říká směrnice. Jak její název napovídá, tato konstanta určuje směr grafu funkce. Prakticky nám sděluje, jestli bude graf klesat (a<0), nebo růst (a>0). Když se vrátíme k našemu hornímu obrázku, všimneme si, že jenom funkce f roste (směrnice zde je 2). U funkcí h a i je tato konstanta rovna -2 a proto grafy klesají. Konstantní lineární funkce má směrnici rovnou nule (a = 0).  Směrnici můžeme také chápat jako změnu y při změně x o jednu jednotku. Když a je tedy rovno dvěma, tak víme, že když x zvětšíme o 1, tak y se zvětší o 2.

To znamená, že konstanta také vyjadřuje tg \alpha, který svírá graf s osou x a určuje tedy sklon grafu. Toto snadno uvidíme v následujícím příkladu:

Jak pomocí konstanty a poznám úhel, který lineární funkce svírá s osou x?

Je dána funkce y= \frac{1}{2} x+1. Nahoře jsme se naučili, jak sestrojím graf této funkce. Najdeme si tedy dva libovolné body A (např. pro x = 0) a B (např. pro x = 1), které splňují tuto rovnici. Například si můžeme vybrat  Bod A má tedy souřadnice [0;1] a bod B má souřadnice [1;\frac{3}{ 2}]. Pomocí bodů A a B můžeme vytvořit lehký pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami \Delta x\Delta y, které vyjadřují posunutí po x-ové a y-ové ose. Chceš-li, vědět více o tom jak se určují taková to posunutí, navštiv náš kurz o kartézských soustavách.

\Delta x = |x_{b} - x_{a}| = |1 - 0| = 1
\Delta y= |y_{b} - y_{a}| = |\frac{3}{ 2} - 1| = \frac{1}{ 2}

Konstanta a nám tedy i říká, jak musím změnit y-ovou souřadnici, když změním x-ovou o 1, abych se z jednoho bodu funkce (bod A) dostal do druhého bodu funkce (bod B). Tady je to 1/2. Tento jev budeme ještě detailněji rozebírat v kapitole a v kurzu o derivacích. Z goniometrie my víme, že tangens úhlu se vypočte protilehlá odvěsna ku přilehlé odvěsně a tudíž můžeme napsat:

tg \alpha = \frac{ \Delta y}{ \Delta x}
tg \alpha = \frac{ \frac{1}{ 2}}{ 1} = \frac{1}{ 2}

Úhel \alpha v trojúhelníku s přeponou AB je stejný s úhlem, který svírá graf s osou x, neboť jsou to úhly souhlasné. A proto je konstanta a= též rovna tg \alpha.

a=tg \alpha = \frac{ \frac{1}{ 2}}{ 1} = \frac{1}{ 2}

Záporná konstanta a říká tedy: Posuneme-li se po x-ové ose o 1, y-ová souřadnice se bude zmenšovat o |a|. Proto graf takovéto lineární funkce bude klesat. Podobně to můžeme vysvětlit i pomocí úhlu: Je-li konstanta a<0, bude úhel \alpha tupý, a tím pádem bude graf funkce klesat. Je-li však konstanta  a>0; bude úhel \alpha ostrý, a tím pádem bude graf funkce růst. Posuneme-li se po x-ové ose o 1, y-ová souřadnice se bude zvětšovat (a je kladné)

f:y = -2x

Tupý úhel - směrnice grafu lineární funkce

g:y = x

Ostrý úhel - směrnice grafu lineární funkce

Význam konstanty v lineární funkci

Jak jsme si viděli u našeho úplně prvního příkladu, tři funkce protínali osu y ve stejném bodě (y=2). Toto číslo odpovídá přesně konstaně b. Konstanta b nám tedy určí průsečík lineární funkce s osou y. Vysvětlení je velice jednoduché: Všechny body na ose y mají x-ovou souřadnici rovnou nule. To znamená, že z naší lineární funkce y = ax + b se pro tyto body stane y = b. Toto posunutí si můžete vyzkoušet v našem appletu.

Nakreslení grafu pomocí konstant

Vraťme se tedy k naší první funkci y = 2x + 2. Konstanta b je zde rovna 2 a udává nám průsečík grafu funkce s osou y. Máme tedy jeden bod grafu A[0;2]. Konstanta a je rovna 2 a říká nám, že když x zvětším o jednu y se zvětší o dvě. To znamená, že když se s bodu A posunu o jednu po x-ové ose, musím se posunout o dvě po y-ové ose nahoru. Tak dostaneme druhý bod B[1;4]. Díky těmto bodům můžeme lehce nakreslit graf funkce.

Speciální případy lineární funkce


VIDEO

Konstantní funkce

Pod názvem konstantní funkce se chápe funkce, jejíž hodnota (tedy y-ová souřadnice bodů této funkce) není závislá na souřadnicích x. Je tedy jedno, jaké je x, y bude pořád stéjné. U takovýchto funkcí je konstanta a rovna 0. Takže se změní její předpis na y = b, kde b \in \mathbb{R}. Grafem funkce je přímka, jejíž všechny funkční hodnoty jsou rovny b, a tím pádem bude graf rovnoběžný s osou x.

Konstantní funkce

Přímá úměrnost

Přímá úměrnost je funkce, která má hodnotu rovnu 0. Její předpis se mění na y = ax, kde a \in \mathbb{R} \backslash {0}. Grafem funkce je též přímka, která však prochází počátkem soustavy, bodem [0;0].

Grafy přímé úměrnosti

Vlastnosti lineární funkce

Definiční obor: \mathbb{D}=\mathbb{R}
Obor hodnot:

  • u konstantní funkce – \mathbb{H}=b
  • u ostatních- \mathbb{H}=\mathbb{R}

Průsečík s osou x: [\frac{-b}{ a};0]
Průsečík s osou y: [0;b]
Monotonnost:

  • u konstantní funkce- konstantní
  • u ostatních- klesající pro a<0; rostoucí pro a>0

Řešené příklady s lineární funkcí

Pojďme se nyní podívat na dva typické příklady z okruhu o lineárních rovnicích. Chceš-li si procvičit více příkladů s lineárními funkcemi, podívej se do našeho online kurzu.

Jak vypočtu průsečíky grafu lineární funkce s osami soustavy souřadnic?

Vypočítej průsečíky grafu y= \frac{1}{2} x + 2 s osami soustavy souřadnic.

Nejdříve si musíme uvědomit, že x a y v předpisu funkce znamenají souřadnice libovolného bodu grafu, X[x;y]. Takže při výpočtu souřadnic už určitě budeme znát jeden údaj. Když graf protne osu y, souřadnice x bude určitě 0. Když na druhé straně protne graf osu x, souřadnice y bude vždy 0.

Průsečík s osou x:

y= \frac{1}{2} x + 2

Víme, že se jedná o průsečík s osou x, takže y-souřadnice bude 0.

0= \frac{1}{2} x + 2       / -2
-2= \frac{1}{2} x       / \times 2
-4=x
O_x[-4;0]

Průsečík s osou x je v [-4;0].

Průsečík s osou y je lehce vyvoditelný z předpisu funkce. Když protne osu y, musí jeho x-souřadnice být 0. My už jsme se naučili, že y-ová souřadnice tohoto bodu odpovídá konstantě b. Tady ještě jednou výpočet.

y= \frac{1}{2} x + 2
y= \frac{1}{2} 0 + 2
y=2
O_y[0;2]

Průsečík s osou x je v [0;2].

Jak určím předpis lineární funkce, znám-li dva body této funkce?

Napiš předpis funkce, která prochází body A[2;4] a B[-1;1].

Znovu je potřeba si uvědomit, že x a y v předpisu funkce znamenají souřadnice libovolného bodu na grafu X[x;y]. Nyní máme dva body již stanovené, tak je můžeme vložit do předpisu funkce y = ax + b:

4=2a+b
1=-a+b

Vznikla nám soustava rovnic o dvou neznámých a a b.

1=-a+b       / +a
1+a=b

Z druhé rovnice lze lehce vyjádřit neznámá b, takže budu řešit soustavu doplňovací metodou.

4=2a+1+a
4=3a+1       / -1
3=3a       / \div 3
1=a

Máme vypočítanou hodnotu  a. Teď stačí dosadit a do jedné z rovnic.

1=-1+b       / +1
2=b
P_[a;b]={[1;2]}

Teď stačí dosadit a a b do obecné rovnice funkce.

y=ax+b
y=1x+2
y=x+2

Chceš si procvičit další příklady a nebo potřebuješ trochu jiné vyssvětlení? Koukni se na náš online kurz o lineárních funkcích.

Další materiály

Kompletní kurz

© Doktor Matika, 2018
X