FUN04 – Kvadratická funkce

Mezi funkce v praxi používané nejčastěji patří bezpochyby i takzvaná kvadratická funkce. Tu řadíme mezi funkce druhého stupně, což znamená (stejně jako u kvadratické rovnice a nerovnice), že se zde proměnná x vyskytuje ve druhé mocnině. To kvadratickým funkcím propůjčuje mnoho zajímavých vlastností, o kterých si za chvíli popovídáme.

Další materiály

Kompletní kurz

Obecný zápis kvadratické funkce

VIDEO

Obecně takovou kvadratickou funkci poznáme podle předpisu ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a,b,c\in\mathbb{R} a a\neq 0. Podmínka pro člen a je přitom zcela logická – kdyby platilo, že a = 0, pak by z předpisu funkce zmizel kvadratický člen a z naší funkce by se stala funkce lineární. Někdy se setkáte i z předpisem y = ax^2 + bx + c. Je nutné si neustále opakovat, že f(x) není nic jiného než hodnota funkce v daném bodě a tedy naše y. Tento zápis se nazývá obecný zápis kvadratické funkce. Dolé se setkáme ještě s vrcholovým zápisem kvadratické funkce.

Graf kvadratické funkce

Stejně jako když grafem lineární funkce byla přímka, i kvadratická funkce má svůj speciální tvar grafu. Je jím tzv. parabola, tedy osově souměrná kuželosečka – pokud si nejste úplně jistí, co to kuželosečka je, bude stačit popis „křivka“. Osově souměrná znamená, kdybychom vrcholem této paraboly (bodem [1;-1]) vedly přímku a pomocí této přímky začali náš obrázek skládat, jako když skládáme papír, tak by se obě dvě větvě paraboly (čáry na levo a na pravo) od vrcholu překryly.  Jak parabola přibližně vypadá můžeme vidět na následujícím obrázku:

Graf kvadratické funkce: parabola

Zde se díváme na graf funkce s předpisem f(x) = x^2 - 2x + 0.  V této funkci máme tedy následující konstanty: a=1, b=-2 a c=0. Jejím grafem je tedy již zmiňovaná parabola s vrcholem (ta část, kde se mění monotonie – „směr“ křivky) v bodě [1;-1] a větvemi (souměrné části paraboly) otevřenými nahoru. Z grafu lze také vyčíst, že křivka protíná osu x v bodech [0;0] a [2;0] a osu y v bodě [0;0]. Tyto prvky jsou důležité protože nám pomohou sestrojit graf kvadratické funkce. Především vrchol funkce hraje klíčovou roli. Jak ale toto všechno zjistíme, když dostaneme pouze předpis funkce? Podívejme se tedy na jednotlivé prvky hezky popořadě.

Jak určím průsečík kvadratické funkce s osou x?

VIDEO

Abychom zjistili polohu průsečíků grafu s osou x, stačí nám pouze vypočítat, pro jaká x se ypsilonová souřadnice rovná 0. Pro všechny body na ose x je totiž y-ová souřadnice rovna nula. To znamená, že za y si můžeme dosadit nulu a dostaneme rovnici x^2 - 2x = 0. Nepřipomíná vám to něco? Jasně, je to kvadratická rovnice! Po jejím vyřešení (například přes diskriminant, nebo součinový tvar rovnice) pak dojdeme ke dvěma kořenům –  tomto případě 0 a 2, které ukazují na x-ové souřadnice obou průsečíků – druhá (ypsilonová) souřadnice je z definice vždy 0. Body průsečíků jsou tedy zde [0;0] a [2;0]. Dole si uděláme jeden konkrétní příklad, abychom si procvičili, jak to přesně funguje. Chcete-li si to ještě více procvičit, navštivte náš kurz, kde najdete mnoho dalších příkladů s vysvětlením ve videích.

Jak určím průsečík kvadratické funkce  s osou y?

Zde si musíme uvědomit, že takovýto průsečík musí ležet na ose y a že všechny body na ose y mají x-ovou sořadnici rovnou nule (podívejte se ještě jednou na obrázek). To znamená, že stejně jako v předchozím případě, i zde dosadíme nulu – nyní ale za proměnnou x. V našem příkladě dostaneme tedy y=0^2 - 2*0. Nyní už asi všichni vidíme, že výsledej je y = 0. Zjišťujeme tedy, že průsečík s osou y se nachází v bodě [0;0]. Dole najdete ještě jeden příklad, který je tam vysvětlen krok za krokem.

Jak určím vrchol kvadratické funkce (jeho souřadnice)?

Se souřadnicemi vrcholu to však až tak jednoduché výpočty nebudou. Jistě, v mnoha případech, včetně toho našeho, si při hledání x-ové souřadnice můžeme pomoct souřadnicemi průsečíků s osou x, protože se vrchol nachází na x-ové ose přesně mezi těmito dvěma body (parabola je souměrná podle osy procházející právě vrcholem). V našem přikladu to znamená, že x-ová souřadnice vrcholu bude přesně v bodě, kde x = 1, jelikož 1 leží přesně ve středu mezi 0 a 2, x-ovými souřadnicemi průsečíků s osou x. V našem kurzu o kartézských soustavách, se dozvíš, jak střed úsečky můžeš lehce vypočítat. Nyní zbývá 1 dosadit za x do dané funkce a dostaneme, y = -1.  Vrchol má tedy souřadnice V[1;-1].

Mnohdy se ale setkáme s parabolami, které nemají průsečíky s x-ovou osou – například mají vrchol nad ní a jsou otevřené nahoru – v tomto případě nikdy nezískáme vstupní hodnoty pro předchozí postup a budeme si muset poradit jinak. Před tím, než si ukážeme, jak to přesně funguje, musíme si vysvětlit ještě jednu věc.

Vrcholový zápis kvadratické funkce

VIDEO

Kvadratické funkce se mohou zapsat i jiným způsobem: y-y_0=k(x-x_0)^2, kde k je nenulová konstanta a x_0;y_0 jsou souřadnice vrcholu paraboly V[x_0;y_0].  Takovému předpisu říkáme vrcholový zápis a někdy se s ním setkáme v trochu obměněné formě: y=k(x-x_0)^2+y_0

Dokážeme-li tedy náš obecný zápis upravit tak, že z něj dostaneme vrcholový zápis, určíme i vrchol paraboly. K takovéto úpravě používáme metodu doplnění na čtverec, s kterou jsme se setkali již v předchozích kapitolách.

Pojďme se nyní podívat, jak bychom tuto úpravu prováděli u naší funkce: y=x^2-2x. Tuto funkci si mužeme upravit tak že k ní přičteme a odečteme 1 (nezměnili jsme ji tedy): y=\color{red}{x^2-2x+1}\color{grey}{-1}. Červený výraz se dá dále upravit pomocí vzorečku (a-b)^2: y=\color{red}{(x-1)^2}\color{grey}{-1}. A z tohoto je už lehké vidět, že vrchol této funkce bude v bodě V[1;-1]. V našem kurzu si můžeš procvičit víc takovýchto příkladů.

Jelikož vrchol grafu kvadratické funkce je vždy i jeho extrémem – buď minimem (hodnota funkce je zde nejnižší) nebo maximem (hodnota funkce je zde nejvyšší), můžeme určit souřadnice vrcholu i pomocí derivací. Tuto metodu ponecháme bez ukázky, jelikož by to značně přesáhlo rámec této kapitoly. Pro zájemce jsme připravili několik kurzů o derivacích.

Pomocí obou postupů (doplněním na čtverec nebo použitím derivací) pak matematici odvodili dvojici vzorců, pomocí kterých můžeme spočítat souřadnice vrcholu pokaždé a neomylně. Obecný popis souřadnic vrcholu paraboly tedy vypadá následovně:

V=\left[-\frac{b}{2a};c-\frac{b^2}{4a}\right]

Za a, b, c zde samozřejmě dosazujeme koeficienty z předpisu funkce. Obdobný vzoreček najdete i v tabulkách na stránkách věnovaným kvadratickým útvarům v roině (paraboly). Přesto vám všem doporučuji to dělat metodou doplněním na čtverec a nepamatovat si zbytečně tento vzorec. Když si ji par krát procvičíte, uvidíte, že její provedení nezabere více jak 1 minutu.

Význam konstant v obecném zápisu kvadratické funkce

Doposud jsme se seznámili s oběma zápisy kvadratické funkce, naučili jsme se, jak narýsovat její graf a jak určit některé významné body (průsečíky nebo vrchol). V této sekci prozkoumáme trochu detailněji konstanty a,b,c v obecném zápisu kvadratické funkce – především, jaký vliv mají tyto konstanty na graf funkce.

Co znamená konstanta a v kvadratické funkci

U naší vzorové paraboly jsme kromě již zmíněných vlastností také uváděli, že je takzvaně „otevřená“ nahoru, tedy že nahoru směřují její větve. Tuto vlastnost rozlišíme u parabol pomocí koeficientu kvadratického členu a – pokud je a kladné, je parabola otevřená nahoru, pokud záporné, směřují její větve dolů. Podle velikosti koeficientu a pak určujeme míru „otevřenosti“ grafu – obecně platí, že čím dále je hodnota a od nuly, tím blíže k sobě větve jsou. V dalších kapitolách o funkcích se seznámíme s vlastnostmi funkce: konvexnost a konkávnost. U kvadratických funkcích platí: je-li a > 0, funkce je konvexní (já si to pamatuji pomocí tvaru funkce „V“), je-li a < 0, funkce je konkávní (má tvar „A“). Dole v appletu si můžete měnit konstantu a a sledovat co se bude dít s naší funkcí.

Co znamená konstanta b v kvadratické funkci

Interpretace této konstanty není moc jednoduchá. Samozřejmě i tato konstanta nějakým způsobem posunuje s funkcí, ale to posunutí se neinterpretuje tak lehce. V našem appletu máte možnost měnit konstantu b a sledovat, co se bude dít s grafem.

Co znamená konstanta c v kvadratické funkci

Nahoře jsme si ukázali, jak můžeme určit průsečík s osou y. Naučili jsme se, že každý bod na ose y, má x-ovou souřadnici rovnou nule. Dosadíme-li do obecného tvaru kvadratické rovnice y=ax^2+bx+c za x nulu, dostaneme y=c. Tudíž, konstanta c udává průsečík funkce s osou y. I toto si můžete vyzkoušet v našem appletu.

V appletu si můžete veškeré nově nabyté znalosti osahat a vyzkoušet, jak se tvar paraboly mění v závislosti na jednotlivých koeficientech.

Shrnutí – kvadratická funkce

VIDEO
  • Obecný zápis kvadratické funkce: f(x) = ax^2 + bx + c, kde a,b,c\in\mathbb{R} a a\neq 0
  • Konstanta a určuje tvar paraboly: a > 0: parabola má tvar „V“ (je otevřená nahoru), a < 0 parabola má tvar „A“ (otevřená dolů)
  • Konstanta c určuje průsečík paraboly s osou y
  • Vzorec pro výpočet vrcholu: V=\left[-\frac{b}{2a};c-\frac{b^2}{4a}\right]
  • Vrcholový zápis kvadratické funkce: y=k(x-x_0)^2+y_0, kde k\in\mathbb{R_{\ne 0}} a x_0;y_0 jsou souřadnice vrcholu paraboly
  • Definiční obor: všechna reálná čísla
  • Obor hodnot: a > 0: všechna reálná čísla větší nebo rovno y-ové souřadnici vrcholu, a < 0: všechna reálná čísla menší nebo rovno y-ové souřadnici vrcholu

Typické úlohy – kvadratická funkce

V této sekci se podíváme na několik typických otázek, na které narazíte při probírání kvadratických rovnic ve škole.

Příklad 1: Kvadratická funkce – průsečíky, vrchol, graf

Je daná kvadratická funkce y=3x^2+6x+5. Proveďte následující úkony

    1. Určete průsečík s osou y.
      My víme, že průsečík s osou y má x-ovou souřadnici nula. Proto si dosadíme do naší rovnice za x nulu a dostaneme. y=3*0^2+6*0+5=0+0+5=5. Jak jsme si nahoře řekli, průsečík s osou y odpovídá naší konstantě c. Tudíž průsečík má souřadnice P[0;5]
    2. Určete průsečíky s osou x.
      Průsečíky s osou x mají y-ovou souřadnici nulovou. Opět si dosadíme za y nulu a řešíme následující kvadratickou rovnici: 0=3x^2+6x+5. Tato kvadratická rovnice se dá řešit několika způsoby, tady ji budeme řešit přes diskriminant: D=6^2-4*3*5=36-60=-24. Jelikož je náš diskriminant negativní, nemá tato kvadratická rovnice řešení v reálných číslech a tudíž naše funkce nemá žádné průsečíky s osou x.
      Nejdříve si ukážeme, jak určíme souřadnice vrcholu funkce přes úpravu na vrcholový zápis. To znamená, že budeme používát doplnění na čtverec. V prvním kroku si vytknéme 3 z prvních dvou členů a dostaneme: y=3(x^2+2x)+5.
      Nyní u výrazu v závorce použijeme vzoreček (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. To znamená, že dostaneme: y=3(x^2+2x+1)+5-3. V našem případě x^2 odpovídá a^2 (x je tedy a v tom vzorečku), dále pak 2x odpovídá 2ab. Jelikož x je jako a, tak 2x je jako 2a, a tudiž b musí odpovídat 1. To je důvod, proč do naší závorky přičítáme jedničku.
      Nyní je nutné si všimnout, že jsme nepřičetli jenom jedničku, ale 3×1=3. Tuto 3 musíme tedy znova odebrat, abychom náš výraz nezměnili (proto na konci odčítáme 3) a dostaneme: y=3(x+1)^2+2 a náš vrchol má souřadnice V[-1;2].
      K tomuto výsledku jsme se samozřejmě mohli dopracovat i přes náš vzoreček pro souřadnice vrcholu: V=\left[-\frac{b}{2a};c-\frac{b^2}{4a}\right]. Když ho použijeme dostaneme V=\left[-\frac{6}{2*3};5-\frac{6^2}{4*3}\right]=\left[-1;2\right]
    3. Rozhodněte zda body A[2;3] a B[-2;5] leží na grafu kvadratické funkce.
      Takovéto úlohy řešíme pořád stejně a to, že dosadíme ty body do rovnice funkce a podíváme se, zda rovnost platí či ne. Když rovnost platí, tak daný bod leží na grafu funkce. V opačném případě samozřejmě bod nenáleží funkci. Dosazením bodu A do naší rovnice dostaneme 3=3*2^2+6*2+5. Jednoduchou úpravou pravé strany vidíme, že: 3/neq29 a tudíž bod A neleží na grafu naší kvadratické funkce.
      To stejné uděláme s bodem B a dostaneme 5=3*(-2)^2+6*(-2)+5. Na pravé straně dostaneme 3*4-12+5=5 a tudíž pravá strana se rovná té levé a proto bod B náleží dané funkci.
    4. Narýsujte graf této funkce
      Při rýsování jakéhokoliv grafu je nutné znát několik bodů (3 – 5 bodů) na tom grafu. U paraboly je samozřejmě nejdůležitější znát vrchol. V našem případě známe V[-1;2]; B[-2;5] (s předešlé úlohy) a P[0;5] (s úlohy a.). Jelikož body na různých stranách od vrcholu (B nalevo a P napravo od vrcholu), stačí tyto tři body abychom načrtli graf naší funkce:

      Kvadratická funkce - náčrt grafu
      Náčrt grafu kvadratické funkce

Příklad 2: Obecný tvar kvadratické funkce

Zapište funkci y=-2(x-3)^2+4 v obecném tvaru.

Takovéto příklady řešíme lehkou úpravou výrazu na pravé straně. Nejdříve umocníme a dostaneme:  y=-2(x^2-6x+9)+4

Potome roznásobíme:  y=-2x^2+12x-18+4

Doupravíme:  y=-2x^2+12x-14

Příklad 3: Předpis kvadratické funkce podle obrázku

Určete předpis funkcí f(x) a g(x) na obrázku, jestliže víme, že body A[1;2] a B[0;4] leží na funkci f a body C[0;2], D[-2;2] a E[1;-1] leží na funkci g.

2 Paraboly - grafy kvadratických funkcí
Grafy kvadratických funkcí f(x) a g(x)

Začněme s funkcí f(x). Jelikož bod A je vrcholem této funkce, bude lepší, když budeme hledat vrcholový zápis této funkce: f(x)=k(x-x_0)^2+y_0. Za x_0;y_0 můžeme nyní dosadit souřadnice vrcholu (bodu A) a dostaneme:  f(x)=k(x-1)^2+2. Abychom našli zápis této funkce, musíme najít konstantu k. Tuto konstantu najdeme pomocí bodu B, který také náleží funkci. Dosadíme si tedy souřadnice bodu B do našeho zápisu:

4=k(0-1)^2+2
Toto už je relativně lehká rovnice, kde můžeme vypočítat hledanou neznámou k.
4=k+2
k=2

Nyní můžeme dosadit k do naší rovnice funkce a dostaneme f(x)=2(x-1)^2+2. Teď už stačí umocnit a roznásobit závorku a dostaneme se k našemu obecnému tvaru: f(x)=2(x^2-2x+1)+2=2x^2-4x+2+2. To znamená, že naše funkce vypadá:

f(x)=2x^2-4x+4

U funkce g(x) na to budeme muset jít trochu jinak, protože neznáme vrchol této funkce. Naše body tedy dosadíme do obecného zápisu kvadratické funkce ax^2+bx+c a dostaneme tři rovnice o třech neznámých. Nyní budeme hledat konstanty a,b,c.

(1) 2=a*0^2+b*0+c \implies 2=c

(2) 2=a*(-2)^2+b*(-2)+c \implies 2=4a-2b+c

(3) -1=a*1^2+b*1+c \implies -1=a+b+c

Z první rovnice vidíme, že c = 2. To můžeme dosadit do druhé a třetí rovnice a dostaneme dvě rovnice o dvou neznámých:

(2) 2=4a-2b+2 \implies 0=4a-2b

(3) -1=a+b+2 \implies -3=a+b

Nyní můžeme například třetí rovnici vynásobit -2 a odečíst ji od té druhé, abychom se zbavili neznámé b. Dostaneme tudíž:

-6=6a \implies a=-1

To nyní dosadíme například do rovnice (3) a dostaneme -3 = -1 + b. A proto b = -2. Funkce g(x) se proto zapíše:

g(x)=-x^2-2x+2

Další materiály

Kompletní kurz

© Doktor Matika, 2018
X