FUN07 – Exponenciální funkce

V tomto článku vám vysvětlím, co jsou exponenciální funkce a jak se s nimi pracuje. Tyto funkce jsou hodně důležité, protože pomocí nich můžeme dobře popsat různá růstová / poklesová scenária. Pojem exponenciální růst už jistě slyšel každý z vás. Exponenciální funkce je taková funkce, která má neznámou x na místě exponentu.

Definice: Exponeciální funkce f má následující tvar: y=a^x kde a \in \mathbb{R}^+, a\neq 1, x \in \mathbb{R}

Často se setkáte taky s následujícím zápisem f(x)=a^x , kde a je základ a x exponent. Základ a může být jakékoliv libovolné kladné číslo kromě 1. Proč jsou tyto podmínky důležité?

Proč nesmí být základ záporný?

Abychom tuto otázku zodpověděli, předpokládejme, že základ záporný je a podívejme se na následující exponenciální funkci: f(x)=(-2)^x. Když nyní za x dosadíme \frac{1}{2}, dostaneme y=(-2)^\frac{1}{2}=\sqrt{-2}. My ale víme, že odmocnina ze záporného čísla neexistuje.

Proč se základ nesmí rovnat 1?

Když a=1, dostaneme f(x)=1^x a to je vždy 1 (bez ohledu na to, jaké je x). Toto můžeme vidět i v následující tabulce:

x	-5	-3	-1	0	1	3	5
y	1	1	1	1	1	1	1

Graf této funkce vidíte dole v obrázku – jedná se o rovnoběžku s osou x, která je na úrovni y=1.

Grafy exponenciálních funkcí

Graf exponenciální funkce je často nazýván jako exponenciální křivka. Tato křivka může buď stoupat (exponenciální růst) a nebo klesat (exponenciální pokles). To záleží na velikosti základu a.

1) Základ a je mezi 0 a 1

Je-li základ a mezi 0 a 1, mluvíme o exponenciálním poklesu. Jako příklad se můžeme podívat na následující funkci:
f(x)=(\frac{1}{2})^x
Abychom tuto exponenciální funkci mohli nakreslit, je výhodné si pro několik libovolných x vypočítat příslušná y. Takovéto tabulce říkáme tabulka hodnot:

x	-3	-1	0	1	3	5
y	8	2	1	\frac{1}{2}	\frac{1}{8}	\frac{1}{32}

Jak můžete vidět na grafu, je tato exponenciální funkce klesající. To znamená, čím je větší x, tím je menší y.

2) Základ a je větší než 1

Je-li základ a větší než 1, mluvíme o exponenciálním růstu. Jako příklas se můžeme podívat na následující funkci:
g(x)=2^x
Stejně jako v příkladě nahoře, si i tady uděláme tabulku hodnot:

x	-3	-1	0	1	3	5
y	\frac{1}{8}	\frac{1}{2}	1	2	8	32

Exponenciální funkce se základem větším než 1 jsou funkce rostoucí. To znamená čím je větší x, tím je větší y.

Zajímavé vlastnosti exponenciálních funkcí

Když obě dvě horní funkce narýsujeme do jednoho grafu, všimneme si několika zajímavých vlastností:

 

1. Definiční obor je množina všech reálných čísel. To znamená, že pro jakékoliv x (všechna reálná čísla) najdeme jedno y.
2. Všechny exponeciální funkce jsou nad x-ovou osou. Obor hodnot těchto funkcí je tedy interval (0,∞).
3. Všechny exponenciální funkce protínajjí y-ovou osu v bodě [0;1]. To je kvůli tomu, že a^0=1 pro všechny a.
4. Všechny exponenciální funkce se přibližují x-ové ose, ale nikdy se jí nedotknou. V takovýchto případech říkáme, že x-ová osa je asymptotou exponenciální funkce. Tyto funkce tedy nemají žádné nulové body.
5. Exponenciální funkce jsou symetrické podle y-ové osy. Když máme dvě funkce f(x)=(\frac{1}{a})^x \text{ a } g(x)=a^x, tak platí f(-x)=g(x). Tohle můžeme jednoduše pomocí pravidel počítání s mocninami dokázat: f(-x)=(\frac{1}{a})^{-x}=a^x=g(x).

Shrnutí

Exponenciální funknce jsou funkce, které dobře popisují prudký růst nebo pokles. Dole jsou shrnuty nejdůležitější vlastnosti:

• Rovnice funkce: f(x) = a^x \text{ kde } a \in \mathbb{R}^+, a \neq 1, x \in \mathbb{R}
• Definiční obor: \mathbb{D}=\mathbb{R}
• Obor hodnot: \mathbb{W}=\mathbb{R}^+
• Průsečík s osou y: P(0;1)
• Průsečík s osou x: keine
• Asymptota: osa x
• Monotonnost: klesající pro 0<a<1 a rostoucí pro a>1
• Inverzní funkce: logaritmické funkce f(x)=log_{a}x

Máte-li nějaké další otázky k exponenciálním funkcím, napište nám do komentářů nebo navštivte naší sekci s výukovými videi.