ANA01 – Kartézské soustavy souřadnic

V tomto článku se dozvíte vše potřebné o takzvané kartézské soustavě souřadnic, která je nosným pilířem celé analytické geometrie.

Různé soustavy souřadnic znalo lidstvo od pradávna – ať už šlo o mapy světa, ve kterých se mořeplavci orientovali pomocí zeměpisných délek a šířek, či šachové notace, kde se poloha figur zapisovala pomocí písmen a čísel označujících jednotlivé řádky a sloupce šachovnice.

Šachovnice jako soustava souřadnic

Právě druhý jmenovaný systém zápisu, tedy šachová notace, má k naší kartézské soustavě asi nejblíže. Představme si teď na chvíli, že naprosto vypustíme matematiku z hlavy a půjdeme si zahrát šachy.

Jednoduchá šachovnice

Zajímali jste se někdy o to, proč jsou kolem šachovnice ta zvláštní čísla a písmena? Že ne? Je to naprosto jednoduché – pomocí písmen označujících sloupce a čísel označujících řádky mohou šachisté přesně pospat polohu kamene (figurky) na šachovnici. Řekněme, že na šachovnici položíme figuru jezdce.

Šachovnice s jezdcem

Jak bychom nyní mohli popsat jeho polohu? Je v dolní levé části? Někde skoro uprostřed, trochu dolů a doleva? Nene, takhle to nepůjde – na pomoc si budeme muset přizvat ony souřadnice, o kterých je tu celou dobu řeč.

Protože šachisté vědí, že způsobem „skoro uprostřed, trochu doleva“ nikdy polohu kamene nepopíšou přesně, použijí zápis D3. Když si totiž obrázek s jezdcem prohlédnete pořádně a pojedete po jeho sloupci až úplně dolů, zjistíte, že stojí na sloupci D; když to samé provedete s řádkem, dostanete se k řádku 3 a když obojí dáte dohromady, vyjde vám již zmíněná notace D3.

Protože jsme ale matematici, do hry vneseme trochu více čísel – vyrobíme si šachovnici, která má čísly popsány i sloupce. A pro zábavu přidáme ještě jednu figuru.

Matematická šachovnice s dámou a jezdcem

Jak nyní tedy popíšeme pozice jednotlivých šachových figur? Začneme s jezdcem, když už ho známe. Pojedeme po sloupci až úplně dolů, jak už jsme to jednou udělali a zjistíme, že stojí na sloupci číslo 5. Když si prohlédneme jeho řádek, objevíme že jde o řádek 2. Pozici jezdce tak zapíšeme třeba jako [5;2].

U původní, klasické šachové notace s písmenem a číslicí bylo v notaci možné řádek a sloupec zaměnit – D3 bylo vlastně to samé, jako 3D (i když 3D by nebylo správně šachisticky) – stále jsme věděli, že číslo označuje řádek a písmeno sloupec na šachovnici.

V případě číselných souřadnic však zaměnit čísla nemůžeme – matematici se tedy domluvili, že první souřadnice (číslo) bude vždy označovat jak moc „vpravo či vlevo“ se objekt nachází – tedy sloupec na šachovnici. Druhá souřadnice zase vždy bude popisovat „výšku“, ve které se objekt nachází  – na naší šachovnici to tedy popisuje řádek.

Polohu jezdce na poslední šachovnici jsme tedy pospali jako [5;2], pozici dámy bychom pak zapsali jako [2;5] – první číslo popisuje sloupec, druhé řádek.

Číselné osy

Stejně jako šachisté potřebují popsat polohu figurek na šachovnici, i matematici občas potřebují popsat polohu bodů a dalších útvarů v rovině, popřípadě v prostoru. K tomu jim slouží různé soustavy souřadnic, nejčastěji právě kartézská soustava, pojmenovaná podle francouzského filosofa Descarta, který se zasloužil právě o rozšíření této soustavy mezi širokou veřejnost.

Hlavními prvky každé kartézské soustavy je vždy bod – takzvaný počátek soustavy – a na sebe kolmé přímky – souřadnicové osy. Pokud pracujeme ve dvojrozměrné rovině, stačí nám osy dvě; pokud ve trojrozměrném prostoru, budeme potřebovat osy tři. 

Zkusíme si tedy do sešitu takovou kartézskou soustavu načrtnout.

Kartézská soustava souřadnic

Červeně jsme si označili libovolný bod, kterému budeme odteď říkat počátek soustavy (dokonce jsme ho příhodně označili písmenem P). Horizontálně jím nyní povedeme osu x, vertikálně osu y.  A soustavu máme připravenou!

Nyní již stačí zakreslit na obě osy jednotky, pomocí kterých budeme polohy jednotlivých bodů v soustavě popisovat.

Kartézská soustava souřadnic s popsanými osami

Jak můžete sami vidět, souřadnicové osy se popisují tak, aby měly nulu v počátku. Napravo a nahoru se pak číslují kladnými čísly (tomu napovídají i malé šipky na konci kladných poloos), doleva a dolů se používají čísla záporná.

Jak tedy budeme postupovat, když chceme popsat polohu bodů v soustavě? Pár si jich do ní zakreslíme, abychom měli s čím pracovat.

Kartézská soustava souřadnic s body

Řekněme, že chceme například postupovat podle abecedy a první popsat pozici bodu A. Stejně jako v předchozím příkladě se šachovnicí nejdříve zapíšeme „sloupec“, tedy horizontální vzdálenost od počátku – číslo na ose x. První souřadnicí bodu A je 2. Tuto informaci doplníme o „řádek“, ve kterém bod najdeme, tedy vertikální vzdálenost od počátku. Druhou souřadnicí bodu A je 1. Bod A tedy najdeme na souřadnicích [2;1].

Jak budeme postupovat u bodů B a C? Úplně stejně! Bod B má pod sebou na ose x číslo -1, první souřadnice je -1; napravo od něj pak najdeme číslo 3 – jeho souřadnice tedy jsou [-1;3]. Souřadnice bodu C tak tím samým způsobem popíšeme jako [-2;-2].

Ačkoliv v našich příkladech užíváme pro souřadnice pouze celá čísla, samozřejmě můžeme bod umístit i mimo tuto síť – např. na pozici [0.5; 2.7], nebo [π;e].

Vlastnosti kartézské soustavy

V kartézské soustavě jsou všechny osy na sebe kolmé.

Osy kartézské soustavy se protínají v jediném bodě – takzvaném počátku soustavy souřadnic.

Kartézská soustava používá právě tolik os, v kolikarozměrném prostoru se používá.

Jednotky na každé ose soustavy nemusí být stejně velké, ale většinou jsou.

Pořád ti to není úplně jasné? Projdi si naše další učební materiály o kartézských soustavách.

© Doktor Matika, 2018
X