Příprava na maturitu – Pythagorova věta (článek)

Pythagorova věta - článek

V této kapitole se podíváme na Pythagorovu věta. Tato věta, která patří mezi asi nejznámější matematické věty, byla poprvé zdokumentována v díle Eukleidovy základy. Je zajímavé, že se dodnes pořádně neví, proč se tato věta nazývá Pythagorova věta.

Opakování důležitých pojmů

Než přejdeme k samotné větě je dobré si zopakovat různé pojmy v pravoúhlém trojúhelníku. K tomu nám pomůže následující obrázek.

Pravoúhlý trojúhelník - základní pojmy

Na obrázku vidíme pravoúhlý trojúhelník ABC se stranami a, b a c. Pravý úhel se nachází u vrcholu C. Strana a leží proti bodu A, strana b proti bodu B a strana c proti bodu C.

Úhly jsou pojmenovány řeckými písmeny α,β a γ, přičemž platí, že úhel α se nachází u vrcholu A …

Strana, která leží proti pravému úhlu, se nazývá přepona. V našem obrázku je to strana c. Je to nejdelší strana v trojúhelníku. Pravý úhel je svírán dvěma kratšími stranami. Tyto strany nazýváme odvěsny.

V goniometrii se často setkáte s pojmy přilehlá a protilehlá odvěsna. V našem obrázku je strana b přilehlá odvěsna k úhlu α a strana a je protilehlá odvěsna k tomuto úhlu.

Pythagorova věta – význam

Pythagorova věta říká, že v jakémkoliv pravoúhlém trojúhelníku se obsah čtverce nad přeponou rovná součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami.
Matematicky to zapíšeme: a^2+b^2=c^2

Pomocí této věty můžeme tedy u jakéhokoliv pravoúhlého trojúhelníku vypočítat jednu stranu, známe-li ty dvě zbývající. Abychom tuto větu lépe pochopili, pomůžeme si následujícím obrázkem. Na obrázku je ještě jednou znázorněno, že součet obsahů čtverců nad odvěsnami je roven obsahu čverce nad přeponou.

Pythagorova věta vysvětlení pomocí obsahů čtverců

Na tomto obrázku je ještě jednou znázorněno, že součet obsahů čtverců nad odvěsnami je roven obsahu čverce nad přeponou. a^2 si můžeme představit jako obsah čtverce se stranou a. Podíváme-li se detailně na ten obrázek, vidíme že strana délka strany a je přesně čtyří čtverečky. Obsah čtverce se stranou a je tedy šestnáct čtverečků (4 * 4 neboli 4^2). Obdoně si můžeme představit obsah čtverce nad druhou odvěsnou b^2. Počet čtverecků v tomto čtverci je devět. Podle Pythagorovy věty by tedy obsah čtverce nad přeponou měl být 25 čtverečků. To bohužel nejde vidět na první pohled a proto si ukážeme jeden trik, který nám dokáže platnost Pythagorovy věty

Pythagorova věta – důkaz

V našem krátkém videu jsme vizuálně ukázali, proč Pythagorova věta platí.

Tento důkaz je založen na jednoduché vizualizaci, kterou můžete vidět dole. Na obou dvou stranách máme čtverec o straně a+b. Oba dva čtverce jsou tudíž identické. Do těchto čtverců můžeme postupně pokládat různé útvary – třeba náš původní pravoúhlý trojúhelník ABC. Na obě dvě strany ho dáme čtyřikrát, přičemž ho pokaždé rozmístíme trochu jinak. Na levé straně nám v čtverci zůstane prázdné místo, do kterého se přesně vejdou čtverce s obsahem a^2b^2. O tom, že se jedná opravdu o čtverce, se můžeme přesvědčit na základě vedlejších úhlů. Vnitřní úhel čtverce je totiž vedlejší k pravému úhlu trojúhelníka.

Pythagorova věta - důkaz

Do pravého čtverce se po vložení čtyř našich trojúhelníku vejde útvar se stranami c. Pythagorova věta platí tedy, když ukážeme, že tento útvar je opravdu čtverec. K tomuto použijeme dvou poznatků o úhlech:

  • Součet úhlu v trojúhelníku je 180°. To znamená, že součet úhlů α a β je 90°
  • Přímý úhel je 180° (svírají ho třeba opačné polopřímky)

Podíváme-li se ještě jednou na náš obrázek, všimneme si, že všichni vnitřní úhly našeho útvaru leží na jedné přímce s  α a β. To znamená, že tento vnitřní úhel spolu s α a β musí být 180° (přímý úhel). Jelikož α a β je 90°, hledaný úhel je pravý a náš útvar je opravdu čtverec. Tímto lehkým obrázkem jsme si ukázali, že Pythagorova věta opravdu platí.

Pythagorova věta v rovnoramenném pravoúhlém trojúhelníku

Platnost Pythagorovy věty si můžeme ještě lehčeji představit  u rovnoramenného. K tomu nám poslouží následující obrázek.

Pythagorova věta u rovnoramenného trojúhelníku

Na tomto obrázku vidíme rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají délku přesně tři čtverečky. Obsah čtverců nad těmito odvěsnami odpovída tedy devíti čtverečkům. Součet těchto obsahů je přesně 18 čtverečků. Koukneme-li se na čtvereč nad přeponou, uvidíme, že ten se skláda z dvanácti plných čtverečků a dvanácti polovin. Po složení polovin k sobě dostaneme i zde 18 čtverečků. V úlohách najdete zajímavý experiment s papírem, který vám také ukáže, proč Pythagorova věta platí.

Pythagorova věta – její využití

Když jste doposud všechno rozuměli, určitě vás zajímá k čemu mi to všechno je. V této sekci si ukážeme pár názorných příkladů, kdy se nám Pythagorova věta extrémě bude hodit.

Dvě strany známe -> hledá se třetí strana

Asi nejčastěji se Pythagorova věta používá, když známe dvě strany v pravoúhlém trojúhelníku a potřebujeme dopočítat stranu třetí.

Příklad 1: V pravoúhlém trojúhelníku známe velikosti odvěsen a a b (a = 3, b = 4). Dopočítejte velikost přepony c.

Pythagorova věta říká: a^2+b^2=c^2

Za a a za b můžeme dosadit čísla 3 a 4 respektivě. Po dosazení dostaneme:

3^2+4^2=c^2
9+16=c^2
25=c^2
c=\sqrt{25}=5

Příklad 2: V pravoúhlém trojúhelníku známe velikost jedné odvěsny a přepony (a = 15, c = 25). Dopočítejte velikost zbývající odvěsny b.

Pythagorova věta říká: a^2+b^2=c^2

Za a a za c můžeme dosadit čísla 15 a 25 respektivě. Po dosazení dostaneme:

15^2+b^2=25^2
225+b^2=625
b^2=400
b=\sqrt{400}=20

Je daný trojúhelník pravoúhlý?

Občas se taky setkáte s úlohami, kde všechny tři strany jsou dány a úlohou je určit, zda se jedná o pravoúhlý trojúhelník. Pythagorova věta nám pomůže takovéto úlohy vyřešit aniž bychom museli měřit jakýkoliv úhel v trojúhelníku.

Příklad 1: Jsou dány strany trojúhelníku ABC (a = 3, b = 4, c = 6). Zkontrolujte bez měření jakéhokoliv úhlu, zda je tento trojúhelník pravoúhlý.

Postup: Kdyby tento trojúhelník pravoúhlý byl, musela by platit Pythagorova věta. Můžeme tedy dosadit všechny strany do vzorce pro Pythagorovu větu a kouknout se zda platí. Nezapomeňte, že obě dvě kratší strany jsou odvěsny toho trojúhelníku.

3^2+4^2=6^2
9+16=36
25=36

Jak můžeme snadno vidět 25 se nerovná 36 a proto Pythagorova věta v tomto trojúhelníku neplatí. Tudíž daný trojúhelník ABC není pravoúhlý.

Příklad 2: V trojúhelníku známe velikosti jeho stran (a = 6, b = 8, c = 10). Zkontrolujte bez měření jakéhokoliv úhlu, zda je tento trojúhelník pravoúhlý.

Postup: Kdyby tento trojúhelník pravoúhlý byl, musela by platit Pythagorova věta. Můžeme tedy dosadit všechny strany do vzorce pro Pythagorovu větu a kouknout se zda platí.

6^2+8^2=10^2
36+64=100
100=100

Pythagorova věta v tomto trojúhelníku platí. Tudíž daný trojúhelník ABC je pravoúhlý.

VIDĚT VŠEPřidat poznámku
TY
Přídat tvůj komentář
 
© Doktor Matika, 2018
X