ROV01-01 – Co jsou to rovnice?

V tomto článku si ukážeme, co jsou to rovnice a jak je můžeme řešit. Kromě toho si zde uděláme malý úvod do lineárních rovnic a slovních úloh s rovnicemi.

Další materiály

Kompletní kurz

Co to jsou tedy rovnice?


VIDEO

Takže napřed trocha teorie, co jsou ty rovnice vlastně obecně zač.
Rovnice jsou snad nejzákladnějším pojmem v celé matematice; vždy slouží k popisu nějaké existující rovnosti, a to za pomoci rovnítka (=). V matematice říkáme, že rovnice popisují rovnost dvou výrazů. S výrazy jste se už seznámili na základní škole. Zde můžeme vidět několik příkladů výrazů: 2+3, 7-3, 10÷5, 2×8,2x+7

Podíváme-li se na horní příklady důkladně, všimneme si, že u posledního máme nějaké písmenko x. Tomuto písmenku říkáme proměnná, jelikož si za něj můžeme dosazovat libovolná čísla. To číslo a tedy celý výraz se tak mění. V našem případě si to můžeme představit následovně:

Proměnná xVýraz 2x+7
12×1+7=2+7
22×2+7=4+7
-52×(-5)+7=-10+7

Rovnici tedy můžeme psát jako „výraz 1 = výraz 2“ To znamená, že  5 + 2 = 10 – 3 je rovnice. Snadno si oba dva výrazy můžeme spočítat a dostat  7 = 7. Rovnice, kde se ve výrazech vyskytují jenom čísla, nejsou až tak zajímavé. Zajímavost, ale bohužel také určitou „obtížnost“ přinesou až proměnné vyskytující se aspoň v jednom výrazu rovnice (např. 2x + 7 = 3x – 15).

Obecně se rovnice skládá ze tří částí: levé strany rovnice, pravé strany rovnice a již zmíněného rovnítka (které je uprostřed). Právě rovnítko pak říká, že se levá a pravá strana rovnice rovnají.

Co je cílem rovnice?

Cílem takovýchto rovnic je najít proměnnou x, pro kterou napsaná rovnost bude platit. Můžeme tedy dosazovat různá čísla za x na levou a pravou stranu rovnice a simultálně kontrolovat, zda rovnost bude platit. Pro lepší pochopení se podívejme na následující tabulku:

Proměnná x2x+73x-15Platí rovnost?
19-12ne
211-9ne
-10-13-45ne
............
225151ano

Jak si jistě dokážeš představit, takovéto zkoušení může být velice zdlouhavé. Tudíž se nabízí otázka, zda nenajdeme nějaký univerzálnější postup než pouhé zkoušení. Než si ale tento postup ukážeme, je dobré se podívat na jeden konkrétní příklad.

Konkrétní úloha s rovnicí

Řešení rovnic se v matematice často používá, když chceme zjistit nějaký údaj, ale známe o něm jen část informace. Jednoduchou rovnicí tak může být například úloha:

Jablko a hruška stojí dohromady 15 korun. Hruška stojí 5 korun. Kolik stojí jablko?

Grafické znázornění lineární rovnice

Zde můžeme naprosto logicky odvodit, že jablko stojí 10 korun, protože z celkových 15 Kč vezme 5 korun hruška a zbytek vychází na cenu jablka. Co ale když se ale na příklad podíváme matematicky? Pojďme to zkusit.

Rovnici si připravíme tím, že doprostřed řádku napíšeme rovnítko. Nejprve známe celkovou cenu nákupu, 15 Kč. Tu tedy napíšeme na jednu stranu rovnice, nejčastěji na pravou.

= 15

Dále ze zadání víme, že jsme koupili jablko a hrušku. Na levou stranu rovnice tedy napíšeme „jablko + hruška“ a vyjde nám následující rovnost:

jablko + hruska = 15

O této rovnosti víme, že platí; jablko s hruškou stojí dohromady 15 Kč. My ale ještě víme, že samotná hruška stála 5 Kč, proto do rovnice napíšeme místo „hrušky“ její cenu, tedy 5.

jablko + 5 = 15

Nyní už máme rovnici připravenou k řešení, stačí pár kosmetických úprav. V běžné matematice se pro hledanou proměnnou (hledané číslo, zde cena jablka) namísto slova používá jedno písmeno, nejčastěji x. I my tedy napíšeme do naší rovnice „x“ místo „jablko“.

x + 5 = 15

A teď už je rovnice hotová úplně, stačí jenom vyřešit. Jak jsme již viděli nahoře, takovouto rovnici můžeme vyřešit postupným dosazování za proměnnou x. Tam jsme ale také viděli, že takováto metoda může být hodně zdlouhavá a proto se nyní podíváme na univerzálnější metodu. Abychom vyřešili rovnici, snažíme se osamostatnit proměnnou x na jednu ze stran rovnosti. K tomu používáme tzv. ekvivalentní úpravy.

Co jsou to ekvivalentní úpravy?


VIDEO

Termínem ekvivalentní úpravy v matematice popisujeme soubor operací, které můžeme s rovnicí provádět a rovnice bude i po nich stále platit.

Ekvivalentní úpravy jsou tedy úpravy, které nemění fakt rovnosti dvou čísel. To znamená:

  1. čísla, která se rovnali před úpravou, se musejí rovnat i po úpravě
  2. čísla, která se nerovnali před úpravou, se nesmějí rovnat i po úpravě

V dolní následující najdeš  základní ekvivalentní úpravy:

Ekvivalentní úpravaJaká úprava? Např.Vysvětlení - před úpravou 3=3Vysvětlení - před úpravou: -3 není 3Příklad v rovnici
Přičítání reálného čísla+ 3Po úpravě:
3+3 a 3+3
6=6
Po úpravě:
-3+3 a 3+3
0 není 6
x - 5 = 10 |+5
x = 10 + 5
x = 15
Příčítání neznámé nebo výrazu obsahující neznámou+ 2x-x = 5 - 2x |+2x
-x + 2x = 5
x = 5
Odečítání reálného čísla-2Po úpravě:
3-2 a 3-2
1=1
Po úpravě:
-3-2 a 3-2
-5 není 1
x + 5 = 10 |-5
x = 10 - 5
x = 5
Odečítání neznámé nebo výrazu obsahující neznámou- xx+5 = 2x |-x
5 = 2x -x
5 = x
Násobení reálným číslem kromě nuly×5Po úpravě:
3×5 a 3×5
15=15
Po úpravě:
-3×5 a 3×5
-15 není 15
x - 5 = 10 |+5
x = 10 + 5
x = 15
Násobení neznámou nebo výrazem obsahující neznámou kromě nuly× (x+3)\frac{1}{x+3}=1 |×(x+3)
1 = x + 3
Dělení reálným číslem kromě nuly÷3Po úpravě:
3÷3 a 3÷3
1=1
Po úpravě:
-3÷3 a 3÷3
-1 není 1
x - 5 = 10 |+5
x = 10 + 5
x = 15
Dělení neznámou nebo výrazem obsahující neznámou kromě nuly÷ xVyřeš rovnic pro x\neq0:
x^2=2x |÷x
x=2
Zaměnit levou a pravou stranu4 = x + 3
x + 3 = 4

Mezi základní ekvivalentní úpravy patří tedy přičítání a odečítání hodnot od obou stran rovnice, násobení celé rovnice nějakou hodnotou a v některých případech i dělení celé rovnice nějakou hodnotou. Tyto úpravy musíme provést na obou dvou stranách rovnice. U násobení a dělení je nutné doplnit, že ta hodnota se nesmí rovnat 0. Poslední řádek tabulky zmiňuje fakt, že můžeme libovolně zaměňovat strany rovnice.

Vraťme se zpět k našemu příkladu s jablkem a hruškou. Pamatujete si ještě, jak vypadala naše rovnost?

x + 5 = 15

Řekli jsme si, že abychom zjistili kolik je x, musíme rovnici upravovat tak dlouho, dokud nám nezbyde x na jedné straně samotné. Podívejme se tedy, čeho všeho se potřebujeme zbavit.

Proměnná x se nachází na levé straně v součtu s 5. Kdybychom tedy od rovnice pětku odečetli, zůstalo by na levé straně pouze x a měli bychom vystaráno. Pojďme to zkusit.

Podle pravidel ekvivalentních úprav musíme pětku odečíst od obou stran rovnosti, provedeme tedy následovný krok:

x + 5 {\color{red}- 5} = 15 {\color{red}- 5}

Na levé straně tak zůstane pouze proměnná x, na pravé nám zbyde 15 – 5, což je 10.

x = 10

Jablko opravdu stojí 10 korun.

Důsledkové úpravy


VIDEO

Kromě ekvivalentních úprav musíme u řešení rovnic někdy použít tzv. důsledkové úpravy. Při takovýchto úpravach se může stát, že dostaneme nějaké řešení navíc. Proto při použítí důsledkových úprav je nutné provést zkoušku. Typickým příkladem důsledkových úprav je umocňování sudou mocninou. Pro lepší pochopení se podívejme  na následjící příklad.

\sqrt{x+2}=x-4              |2

\left(\sqrt{x+2}\right)^2=\left(x-4\right)^2

x+2=x^2-8x+16

x^2-9x+14=0

\left(x-7\right)\cdot\left(x-2\right)=0

x_1=7, x_2=2

Jelikož jsme prováděli umocňování, je nutné provést zkoušku. Zkoušku je dobré dělat ve všech případech, protože se tak ujistíte, že jste počítali dobře. Zkontrolujme tedy naše řešení:

x_1=7

\sqrt{x+2}=x-4

\sqrt{7+2}=7-4

3=3

x = 7 je řešením rovnice

x_2=2

\sqrt{x+2}=x-4

\sqrt{2+2}=2-4

2=-2  -to není pravda

x = 2 není řešením rovnice

Rovnice jako váha v rovnováze

Rovnici si také můžeme představit jako váhu, která musí být neustále v rovnováze. Např. rovnici x + 2 = 4 můžeme chápat jako váhu na jejíž pravé straně máme čtyři kilová závaží a na levé straně mámě dvě kilová závaží a nějaký sáček s kilovými závažími, jehož obsah neznáme. Při řešení rovnice hledáme, kolik kilových závaží je v tom sáčku. Tudíž chceme nějakým způsobem osamostatnit náš sáček. Toho dosáhneme, když z levé straně odebereme dvě kilová závaží. Při odebrání se ale pravá strana stane těžší a váha nebude v rovnováze. Proto musíme odebrat i dvě kilová závaží z pravé strany. Na váze nám tedy zůstane sáček a dvě kilová závaží (x = 2). Následující video nám toto ještě lépe vysvětlí:

Slovní úlohy na procvičení

Příklad 1.

5 pomerančů váží 1 kg (1000 g). Kolik g váží jeden pomeranč?

Sestavení rovnosti je triviální – víme že 5 pomerančů váží 1000 gramů (za slovo pomeranč už automaticky píšeme proměnnou x).

5x = 1000

Znovu platí, že chceme na levé straně osamostatnit x. Nyní je tam ale „pět krát x“, takže musíme celou rovnici vydělit 5.

\frac{5x}{5} = \frac{1000}{5}

Na levé straně nám tak po vydělení zbyde jedno x, na druhé číslo 200.

x = 200

Jeden pomeranč váží 200 gramů.

Příklad 2.

Auto spotřebuje 5 litrů paliva na 100 km. Kolik km ještě ujede, pokud v nádrži zbývají 3 litry?

Úloha tohoto typu je o něco složitější, protože se neptá na vzdálenost za 1 litr (jako předchozí, s jedním pomerančem), ale hned za tři. My si s ní ale krok po kroku lehce poradíme.

První již zkušeně zapíšeme danou rovnost, když víme, že na 5 litrů paliva auto ujede 100 kilometrů:

5x = 100

Pak zkusíme zjistit, kolik kilometrů by auto ujelo na jeden litr; celou rovnici tedy vydělíme 5:

x = \frac{100}{5}

x = 20

Nyní víme, že na jeden litr nafty ujede auto 20 kilometrů. Už to přeci skoro máme hotové, chceme znát jenom 3 litry. Celou rovnici tedy stačí vynásobit třemi.

3x = 20 * 3

3x = 60

Právě jsme zjistili, že na 3 litry paliva ujede automobil 60 km.

(Přiznáváme, tento typ úlohy není klasická lineární rovnice, častěji se totiž řeší pomocí takzvané trojčlenky.)

Základní informace o rovnicích najdeš i v našem online kurzu, kde si můžeš procvičit různé příklady.

Další materiály

Kompletní kurz

© Doktor Matika, 2018
X